Как можно решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка y' + 2y + 4 = 0? Пожалуйста, помогите мне срочно!

Математика Колледж Линейные дифференциальные уравнения первого порядка решение линейного дифференциального уравнения дифференциальное уравнение первого порядка метод решения уравнений математические методы помощь по математике Новый

Для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y' + 2y + 4 = 0, следуем следующим шагам:

1. Перепишем уравнение в стандартной форме:

   У нас уже есть уравнение в форме y' + P(x)y = Q(x), где P(x) = 2 и Q(x) = -4. Таким образом, уравнение можно записать как:

   y' + 2y = -4

2. Найдем интегрирующий множитель:

   Интегрирующий множитель μ(x) вычисляется по формуле:

   μ(x) = e^(∫P(x)dx)

   В нашем случае P(x) = 2, тогда:

   μ(x) = e^(∫2dx) = e^(2x)

3. Умножим обе части уравнения на интегрирующий множитель:

   Умножим уравнение y' + 2y = -4 на e^(2x):

   e^(2x)y' + 2e^(2x)y = -4e^(2x)

4. Запишем левую часть как производную:

   Левая часть уравнения теперь является производной от произведения:

   (e^(2x)y)' = -4e^(2x)

5. Интегрируем обе стороны:

   Теперь интегрируем обе стороны уравнения:

   ∫(e^(2x)y)'dx = ∫-4e^(2x)dx

   Левая часть просто даст e^(2x)y, а правая часть требует интегрирования:

   ∫-4e^(2x)dx = -2e^(2x) + C, где C - константа интегрирования.

6. Записываем общее решение:

   Теперь мы можем записать результат интегрирования:

   e^(2x)y = -2e^(2x) + C

7. Находим y:

   Разделим обе стороны на e^(2x):

   y = -2 + Ce^(-2x)

Таким образом, общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка y' + 2y + 4 = 0 имеет вид:

y = -2 + Ce^(-2x), где C - произвольная константа.