Как можно решить уравнение (2+i)/(z-1+4i)=(1-i)/(2z+i), если z=x+iy?

Математика Колледж Комплексные числа и уравнения с комплексными переменными решение уравнения комплексные числа алгебраические уравнения математические задачи z=x+iy уравнения с комплексными числами Новый

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом. У нас есть уравнение:

(2+i)/(z-1+4i)=(1-i)/(2z+i)

Где z = x + iy. Мы начнем с того, что заменим z на x + iy в уравнении.

Подставим z:

(2+i)/((x+iy)-1+4i)=(1-i)/(2(x+iy)+i)

Теперь упростим выражения в знаменателях:

• Первый знаменатель: (x + iy) - 1 + 4i = (x - 1) + (y + 4)i
• Второй знаменатель: 2(x + iy) + i = 2x + (2y + 1)i

Теперь у нас есть:

(2+i)/((x-1)+(y+4)i)=(1-i)/(2x+(2y+1)i)

Чтобы избавиться от дробей, мы можем перемножить обе стороны на произведение знаменателей:

(2+i)(2x+(2y+1)i) = (1-i)((x-1)+(y+4)i)

Теперь раскроем скобки с обеих сторон:

Левая сторона:

• (2+i)(2x) + (2+i)(2y+1)i = 4x + 2xi + 2yi + (2y+1)i^2
• Помним, что i^2 = -1, поэтому: 4x + 2xi + 2yi - (2y+1) = (4x - (2y + 1)) + (2x + 2y)i

Правая сторона:

• (1-i)((x-1)+(y+4)i) = (x-1) + (y+4)i - i(x-1) - i(y+4)i
• Снова учитываем, что i^2 = -1: = (x-1) + (y+4)i - (x-1)i + (y+4) = (x-1 + (y+4)) + ((y+4) - (x-1))i

Теперь у нас есть:

(4x - (2y + 1)) + (2x + 2y)i = (x - 1 + (y + 4)) + ((y + 4) - (x - 1))i

Теперь мы можем приравнять действительные и мнимые части:

• Для действительных частей: 4x - (2y + 1) = x - 1 + (y + 4)
• Для мнимых частей: 2x + 2y = (y + 4) - (x - 1)

Теперь решим каждое из уравнений:

1. Действительные части:

4x - 2y - 1 = x + y + 3

Переносим все в одну сторону:

4x - x - 2y - y - 3 - 1 = 0

3x - 3y - 4 = 0

3x - 3y = 4

x - y = 4/3

2. Мнимые части:

2x + 2y = y + 4 - x + 1

2x + 2y = -x + y + 5

3x + y - 5 = 0

y = 5 - 3x

Теперь мы имеем систему уравнений:

• x - y = 4/3
• y = 5 - 3x

Подставим второе уравнение в первое:

x - (5 - 3x) = 4/3

x + 3x - 5 = 4/3

4x - 5 = 4/3

4x = 4/3 + 5 = 4/3 + 15/3 = 19/3

x = 19/12

Теперь подставим значение x в y = 5 - 3x:

y = 5 - 3*(19/12) = 5 - 57/12 = 60/12 - 57/12 = 3/12 = 1/4

Таким образом, мы получили:

z = x + iy = 19/12 + (1/4)i

Это и есть решение уравнения. Если есть вопросы, задавайте!