Как можно решить уравнение 3 ^ (x + 3) + 3 ^ (x + 4) + 3 ^ (x + 5) = 13 * 9 ^ (x ^ 2)?

Математика Колледж Экспоненциальные уравнения решение уравнения уравнение 3^x математические задачи алгебраические уравнения exponentiation 9^x методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения 3 ^ (x + 3) + 3 ^ (x + 4) + 3 ^ (x + 5) = 13 * 9 ^ (x ^ 2) мы начнем с преобразования выражений и упрощения уравнения.

Шаг 1: Преобразуем 9 в степени 3.

Заметим, что 9 можно выразить как 3 ^ 2. Таким образом, 9 ^ (x ^ 2) можно переписать как (3 ^ 2) ^ (x ^ 2) = 3 ^ (2x^2).

Теперь уравнение можно записать в следующем виде:

3 ^ (x + 3) + 3 ^ (x + 4) + 3 ^ (x + 5) = 13 * 3 ^ (2x^2).

Шаг 2: Упрощаем левую часть уравнения.

Выносим общий множитель 3 ^ (x + 3) из левой части уравнения:

• 3 ^ (x + 3) (1 + 3 + 3 ^ 2) = 13 * 3 ^ (2x^2).

Теперь у нас есть:

3 ^ (x + 3) * (1 + 3 + 9) = 13 * 3 ^ (2x^2).

Считаем 1 + 3 + 9 = 13, и тогда уравнение принимает вид:

3 ^ (x + 3) * 13 = 13 * 3 ^ (2x^2).

Шаг 3: Делим обе части уравнения на 13.

Так как 13 не равно нулю, можем разделить обе части на 13:

3 ^ (x + 3) = 3 ^ (2x^2).

Шаг 4: Приравниваем показатели.

Так как основания равны, можем приравнять показатели:

x + 3 = 2x^2.

Шаг 5: Приводим уравнение к стандартному виду.

Переносим все члены в одну сторону:

2x^2 - x - 3 = 0.

Шаг 6: Решаем квадратное уравнение.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 2, b = -1, c = -3.

Сначала находим дискриминант:

• D = (-1)^2 - 4 * 2 * (-3) = 1 + 24 = 25.

Теперь подставляем значения в формулу:

• x = (1 ± √25) / (2 * 2) = (1 ± 5) / 4.

Таким образом, получаем два корня:

• x1 = (1 + 5) / 4 = 6 / 4 = 1.5;
• x2 = (1 - 5) / 4 = -4 / 4 = -1.

Шаг 7: Проверяем корни.

Теперь нам нужно проверить, подходят ли найденные корни для исходного уравнения:

• Для x = 1.5 и x = -1 подставляем в исходное уравнение и проверяем, равны ли обе части.

Таким образом, мы нашли решения уравнения. Ответ: x = 1.5 и x = -1.