Как можно вычислить объем тетраэдра с вершинами A(3,-1,2), B(5,1,4), C(0,2,5), D(-2,0,6)?

Математика Колледж Объем тетраэдра объем тетраэдра вычисление объёма вершины тетраэдра формула объема тетраэдра геометрия математика задачи по математике Новый

Чтобы вычислить объем тетраэдра с заданными вершинами A, B, C и D, мы можем использовать формулу, основанную на определителе. Объем V тетраэдра можно найти по следующей формуле:

V = (1/6) * |det(M)|

где M - матрица, составленная из координат вершин тетраэдра. Для начала нам нужно построить матрицу M, используя координаты вершин A, B, C и D. Мы можем представить координаты вершин в виде векторов:

• A(3, -1, 2)
• B(5, 1, 4)
• C(0, 2, 5)
• D(-2, 0, 6)

Теперь мы можем создать матрицу M, вычитая координаты вершины D из координат остальных вершин:

M = | 3 - (-2) 5 - (-2) 0 - (-2) |

| -1 - 0 1 - 0 2 - 0 |

| 2 - 6 4 - 6 5 - 6 |

После вычитания мы получаем:

M = | 5 7 2 |

| -1 1 2 |

| -4 -2 -1 |

Теперь мы можем вычислить определитель этой матрицы. Для 3x3 матрицы определитель можно вычислить по формуле:

det(M) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

где:

• a, b, c - элементы первой строки матрицы
• d, e, f - элементы второй строки матрицы
• g, h, i - элементы третьей строки матрицы

Подставим значения:

• a = 5, b = 7, c = 2
• d = -1, e = 1, f = 2
• g = -4, h = -2, i = -1

Теперь подставим значения в формулу:

det(M) = 5(1 * -1 - 2 * -2) - 7(-1 * -1 - 2 * -4) + 2(-1 * -2 - 1 * -4)

Посчитаем каждую часть отдельно:

• 5(1 * -1 - 2 * -2) = 5(-1 + 4) = 5 * 3 = 15
• - 7(-1 - -8) = - 7(7) = -49
• + 2(2 - 4) = 2(-2) = -4

Теперь сложим все части:

det(M) = 15 - 49 - 4 = -38

Теперь мы можем найти объем тетраэдра:

V = (1/6) * |det(M)| = (1/6) * | -38 | = (1/6) * 38 = 19/3

Таким образом, объем тетраэдра с вершинами A, B, C и D равен 19/3 кубических единиц.