Как можно вычислить производные первого порядка для уравнения x^4 - x^2y^2 + y = 4?

Математика Колледж Производные и дифференциальные уравнения производные первого порядка уравнение x^4 вычисление производных математика 12 класс дифференцирование функций Новый

Чтобы вычислить производные первого порядка для уравнения x^4 - x^2y^2 + y = 4, мы будем использовать метод неявного дифференцирования. Это значит, что мы будем дифференцировать обе стороны уравнения по переменной x, учитывая, что y также может зависеть от x.

1. Дифференцируем обе стороны уравнения:

Начнем с того, что у нас есть уравнение:

x^4 - x^2y^2 + y = 4

Теперь мы будем дифференцировать каждую часть по x.

2. Находим производные:
• Первая часть: d/dx (x^4) = 4x^3
• Вторая часть: d/dx (-x^2y^2) = -[2xy^2 + x^2(2y(dy/dx))]
• Третья часть: d/dx (y) = dy/dx
• Правая часть: d/dx (4) = 0
3. Собираем все производные вместе:

Теперь у нас есть следующее уравнение:

4x^3 - (2xy^2 + 2x^2y(dy/dx)) + (dy/dx) = 0

4. Переписываем уравнение:

Группируем все члены с dy/dx:

dy/dx - 2x^2y(dy/dx) = -4x^3 + 2xy^2

5. Вынесем dy/dx за скобки:

dy/dx(1 - 2x^2y) = -4x^3 + 2xy^2

6. Решаем уравнение для dy/dx:

dy/dx = (-4x^3 + 2xy^2) / (1 - 2x^2y)

Таким образом, производная первого порядка dy/dx для данного уравнения равна:

dy/dx = (-4x^3 + 2xy^2) / (1 - 2x^2y)