Как найти длину дуги кривой, заданной уравнениями x = (t² - 2)sint + 2tcost и y = (2-t²)cost + 2t sint на отрезке от 0 до s?

Математика Колледж Длина дуги кривой в параметрической форме длина дуги кривой уравнения кривой математика 12 интегрирование параметрические уравнения отрезок от 0 до s Новый

Чтобы найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями x(t) и y(t), мы можем использовать формулу для длины дуги:

L = ∫(a to b) √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt

Где:

• L - длина дуги
• a и b - пределы интегрирования (в нашем случае от 0 до s)
• dx/dt и dy/dt - производные x и y по параметру t

Теперь давайте найдем dx/dt и dy/dt для заданных уравнений:

1. Находим производные:
• Для x(t) = (t² - 2)sin(t) + 2tcos(t):
• dx/dt = (2t)sin(t) + (t² - 2)cos(t) + 2cos(t) - 2tsin(t)
• dx/dt = (2t - 2t)sin(t) + (t² - 2 + 2)cos(t)
• dx/dt = (t²)cos(t)
• Для y(t) = (2 - t²)cos(t) + 2tsin(t):
• dy/dt = (-2t)cos(t) + (2 - t²)(-sin(t)) + 2sin(t) + 2tcos(t)
• dy/dt = -2tcos(t) - (2 - t²)sin(t) + 2sin(t) + 2tcos(t)
• dy/dt = (t² - 2)sin(t)
2. Подставляем производные в формулу для длины дуги:
• L = ∫(0 to s) √((t²cos(t))² + ((t² - 2)sin(t))²) dt
3. Упрощаем подкоренное выражение:
• √((t⁴)(cos²(t)) + ((t² - 2)²)(sin²(t)))
• √(t⁴cos²(t) + (t⁴ - 4t² + 4)sin²(t))
• √(t⁴(cos²(t) + sin²(t)) - 4t²sin²(t) + 4sin²(t))
• Так как cos²(t) + sin²(t) = 1, мы получаем:
• √(t⁴ - 4t²sin²(t) + 4sin²(t))
4. Теперь можем записать интеграл:
• L = ∫(0 to s) √(t⁴ - 4t²sin²(t) + 4sin²(t)) dt

Теперь вам нужно вычислить этот интеграл на отрезке от 0 до s. Это может потребовать численных методов, если аналитически решить его невозможно.

Таким образом, длина дуги кривой на заданном отрезке определяется интегралом, который мы сформулировали выше.