Как найти наибольшее и наименьшее значение функции x^2y(4-x-y) в ограниченной области D: y=0, x=0, y=6-x, используя систему, в которой производные по x и y равны 0?

Математика Колледж Оптимизация функций двух переменных Наибольшее значение функции наименьшее значение функции производные по x производные по y ограниченная область D система уравнений математика 12 класс Новый

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x, y) = x^2y(4 - x - y) в ограниченной области D, заданной условиями y = 0, x = 0, y = 6 - x, мы будем следовать нескольким шагам.

1. Найдем критические точки функции. Для этого нам нужно вычислить частные производные функции f по x и y и приравнять их к нулю.
2. Вычислим частные производные:
• Частная производная по x:
• f_x = 2xy(4 - x - y) - x^2y = y(2(4 - x - y) - xy)
• Частная производная по y:
• f_y = x^2(4 - x - y) - x^2y = x^2(4 - x - 2y)
3. Приравняем частные производные к нулю:
• f_x = 0: y(2(4 - x - y) - x) = 0
• f_y = 0: x^2(4 - x - 2y) = 0
4. Решим систему уравнений:
• Из уравнения f_x = 0 получаем два случая:
• y = 0
• 2(4 - x - y) - x = 0, что приводит к y = 8 - 2x.
• Из уравнения f_y = 0:
• x^2 = 0, что дает x = 0, или 4 - x - 2y = 0, что дает y = (4 - x)/2.
5. Теперь найдем точки пересечения границ области D:
• Первая граница: y = 0, x = 0. Здесь точка (0, 0).
• Вторая граница: y = 6 - x, подставляя y = 0, получаем x = 6, y = 0 (точка (6, 0)).
• Третья граница: y = 6 - x и y = 8 - 2x. Подставим y = 6 - x в y = 8 - 2x:
• 6 - x = 8 - 2x
• 2x - x = 8 - 6
• x = 2, y = 6 - 2 = 4 (точка (2, 4)).
6. Теперь подставим найденные точки в функцию:
• f(0, 0) = 0^2 * 0 * (4 - 0 - 0) = 0.
• f(6, 0) = 6^2 * 0 * (4 - 6 - 0) = 0.
• f(2, 4) = 2^2 * 4 * (4 - 2 - 4) = 4 * 4 * (-2) = -32.
7. Теперь сравним значения:
• f(0, 0) = 0
• f(6, 0) = 0
• f(2, 4) = -32
8. Наибольшее значение функции: 0, наименьшее значение функции: -32.

Таким образом, наибольшее значение функции в области D равно 0, а наименьшее значение равно -32.