Как найти площадь области D, ограниченной кривыми y=x^2-4 и y=x?

Математика Колледж Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь области D кривые y=x^2-4 y=x математика 12 класс интегралы графики функций Новый

Чтобы найти площадь области D, ограниченной кривыми y = x^2 - 4 и y = x, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти точки пересечения кривых. Для этого приравняем функции друг к другу:
• x^2 - 4 = x
• Переносим все в одну сторону: x^2 - x - 4 = 0
• Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -4.
• Подставляем значения: x = (1 ± √(1 + 16)) / 2 = (1 ± √17) / 2.
2. Определить границы интегрирования. Мы нашли корни уравнения, которые равны:
• x1 = (1 - √17) / 2
• x2 = (1 + √17) / 2
3. Записать интеграл для нахождения площади. Площадь области D можно найти с помощью интеграла:
• Площадь = ∫[x1, x2] (верхняя кривая - нижняя кривая) dx.
• В нашем случае: Площадь = ∫[(1 - √17) / 2, (1 + √17) / 2] ((x) - (x^2 - 4)) dx.
• Это можно упростить до: ∫[(1 - √17) / 2, (1 + √17) / 2] (4 - x^2 + x) dx.
4. Вычислить интеграл. Интегрируем функцию 4 - x^2 + x:
• ∫(4 - x^2 + x) dx = 4x - (x^3)/3 + (x^2)/2.
5. Подставить пределы интегрирования. Теперь подставим границы:
• Площадь = [4 * (1 + √17) / 2 - ((1 + √17) / 2)^3 / 3 + ((1 + √17) / 2)^2 / 2] - [4 * (1 - √17) / 2 - ((1 - √17) / 2)^3 / 3 + ((1 - √17) / 2)^2 / 2].
6. Упростить выражение. После подстановки и упрощения мы получим значение площади.

Таким образом, мы можем найти площадь области D, ограниченной кривыми y = x^2 - 4 и y = x, выполнив все шаги, описанные выше.