Как найти производную функции, заданной уравнением xy^2 - y^3 = 4x - 5?

Математика Колледж Неявная дифференциация производная функции уравнение xy^2 - y^3 = 4x - 5 математика 12 класс нахождение производной метод implicit differentiation производная по x производная по y частные производные дифференцирование неявных функций Новый

Чтобы найти производную функции, заданной уравнением xy^2 - y^3 = 4x - 5, мы будем использовать метод неявного дифференцирования. Это значит, что мы будем дифференцировать обе стороны уравнения по переменной x, принимая во внимание, что y также является функцией от x.

Следуем этим шагам:

1. Дифференцируем обе стороны уравнения:
   • Левая часть: xy^2 - y^3
   • Правая часть: 4x - 5
2. Применяем правило произведения и цепное правило:
   • Для xy^2:
     • Первый член: x - производная равна 1, второй член y^2 - производная равна 2y(dy/dx).
     • Поэтому: d(xy^2)/dx = y^2 + x * 2y(dy/dx).
   • Для -y^3:
     • Производная равна -3y^2(dy/dx).
   • Для 4x:
     • Производная равна 4.
   • Для -5:
     • Производная равна 0.
3. Записываем уравнение с производными:
   • y^2 + 2xy(dy/dx) - 3y^2(dy/dx) = 4.
4. Собираем все члены с dy/dx в одну сторону:
   • (2xy - 3y^2)(dy/dx) = 4 - y^2.
5. Находим dy/dx:
   • dy/dx = (4 - y^2) / (2xy - 3y^2).

Таким образом, мы получили производную функции dy/dx = (4 - y^2) / (2xy - 3y^2). Это и есть ответ на ваш вопрос.