Как определить полный дифференциал функции z=arctg√(x/y)?

Математика Колледж Полный дифференциал функции нескольких переменных полный дифференциал функция z arctg √(x/y) математика производная частные производные вычисление дифференциала

Чтобы определить полный дифференциал функции z = arctg(√(x/y)), нам нужно воспользоваться правилами дифференцирования и понять, как изменяется функция z в зависимости от изменений переменных x и y.

Полный дифференциал функции z по переменным x и y можно записать в следующем виде:

dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy

Теперь мы должны найти частные производные ∂z/∂x и ∂z/∂y.

1. Находим ∂z/∂x:
   • Сначала найдем производную функции z по x. Используем правило цепочки. Обозначим u = √(x/y), тогда z = arctg(u).
   • Производная arctg(u) равна 1/(1 + u²). Значит, ∂z/∂u = 1/(1 + u²).
   • Теперь найдем ∂u/∂x. У нас u = (x/y)^(1/2). Используем правило дифференцирования корня:
   • ∂u/∂x = (1/2)(1/√(x/y)) * (1/y) = (1/(2√(x/y))y) = 1/(2√(xy)).
   • Теперь можем найти ∂z/∂x:
   • ∂z/∂x = ∂z/∂u * ∂u/∂x = (1/(1 + (√(x/y))²)) * (1/(2√(xy))) = (1/(1 + (x/y))) * (1/(2√(xy))) = (y/(y + x)) * (1/(2√(xy))).
2. Находим ∂z/∂y:
   • Следуя тому же принципу, мы найдем производную z по y.
   • ∂z/∂u = 1/(1 + u²), как и раньше.
   • Теперь найдем ∂u/∂y. У нас u = (x/y)^(1/2):
   • ∂u/∂y = (1/2)(1/√(x/y)) * (-x/y²) = -x/(2y²√(x/y)).
   • Теперь можем найти ∂z/∂y:
   • ∂z/∂y = ∂z/∂u * ∂u/∂y = (1/(1 + (√(x/y))²)) * (-x/(2y²√(x/y))) = (y/(y + x)) * (-x/(2y²√(x/y))) = -x/(2y(y + x)√(x/y)).

Теперь, когда мы нашли обе частные производные, можем записать полный дифференциал:

dz = (y/(2√(xy)(y + x)))dx - (x/(2y(y + x)√(x/y)))dy

Таким образом, полный дифференциал функции z = arctg(√(x/y)) выражается через изменения переменных x и y. Это позволяет нам анализировать, как изменяется функция z при малых изменениях x и y.

Чтобы определить полный дифференциал функции z=arctg√(x/y), следуйте этим шагам:

1. Найдите частные производные функции z по переменным x и y.
2. Используйте формулу полного дифференциала: dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy.

Таким образом, полный дифференциал будет выражен как:

dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy