Как определить значение лямбда, чтобы векторы u + λ l и w были перпендикулярны, если известны векторы u = 6i + j + k, l = 3j – k, w = –2i + 3j + 5k?

Математика Колледж Векторы и скалярное произведение значение лямбда векторы перпендикулярность математика векторное уравнение линейная алгебра решение задачи векторы в пространстве Новый

Чтобы определить значение лямбда (λ), при котором векторы u + λl и w будут перпендикулярны, нужно воспользоваться условием перпендикулярности векторов. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Давайте разберем шаги для нахождения λ:

1. Записываем векторы:
   • u = 6i + j + k
   • l = 3j - k
   • w = -2i + 3j + 5k
2. Записываем вектор u + λl:
   • u + λl = (6i + j + k) + λ(3j - k)
   • Это можно записать как: 6i + (1 + 3λ)j + (1 - λ)k
3. Находим скалярное произведение векторов u + λl и w:
   • Скалярное произведение: (6i + (1 + 3λ)j + (1 - λ)k) • (-2i + 3j + 5k)
   • Вычисляем по формуле: a1*b1 + a2*b2 + a3*b3, где a1, a2, a3 - компоненты первого вектора, b1, b2, b3 - компоненты второго вектора.
   • Скалярное произведение будет равно: 6*(-2) + (1 + 3λ)*3 + (1 - λ)*5
4. Упрощаем выражение:
   • -12 + 3 + 9λ + 5 - 5λ = -4 - λ
5. Приравниваем скалярное произведение к нулю:
   • -4 - λ = 0
6. Решаем уравнение:
   • λ = -4

Таким образом, значение λ, при котором векторы u + λl и w будут перпендикулярны, равно -4.