Как решить интеграл:

∫₀²⁰ ⌊√(2x/(x+1))⌋ dx

Математика Колледж Неопределенный интеграл и интегральное исчисление решение интеграла интеграл от 0 до 20 математика √(2x/(x+1)) определенный интеграл интегралы математические задачи Новый

Для решения интеграла ∫₀² ⌊√(2x/(x+1))⌋ dx, начнем с анализа функции под знаком интеграла. Здесь ⌊x⌋ обозначает целую часть числа x.

1. **Определим функцию**: Рассмотрим функцию f(x) = √(2x/(x+1)). Мы будем искать, как она ведет себя на интервале от 0 до 2.

2. **Найдем значения функции в крайних точках**:

• При x = 0: f(0) = √(2*0/(0+1)) = √0 = 0.
• При x = 2: f(2) = √(2*2/(2+1)) = √(4/3) ≈ 1.15.

3. **Найдем значения функции в промежуточных точках**:

• При x = 1: f(1) = √(2*1/(1+1)) = √(2/2) = 1.

Таким образом, на интервале от 0 до 2 функция f(x) принимает значения от 0 до примерно 1.15. Это означает, что целая часть функции ⌊f(x)⌋ будет равна 0 на интервале от 0 до 1 и равна 1 на интервале от 1 до 2.

4. **Разделим интеграл на два участка**:

Теперь мы можем записать интеграл как сумму двух интегралов:

∫₀² ⌊√(2x/(x+1))⌋ dx = ∫₀¹ 0 dx + ∫₁² 1 dx.

5. **Вычислим каждый из интегралов**:

• Первый интеграл: ∫₀¹ 0 dx = 0.
• Второй интеграл: ∫₁² 1 dx = [x]₁² = 2 - 1 = 1.

6. **Сложим результаты**:

Теперь мы можем сложить результаты двух интегралов:

∫₀² ⌊√(2x/(x+1))⌋ dx = 0 + 1 = 1.

Ответ: Интеграл равен 1.