Для решения уравнения второго порядка y'' + 2y' + y = 1 + e^x, мы будем использовать метод решения неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Этот метод включает два основных шага: нахождение общего решения однородного уравнения и нахождение частного решения неоднородного уравнения.

Сначала решим однородное уравнение:

y'' + 2y' + y = 0

Для этого найдем характеристическое уравнение:

r^2 + 2r + 1 = 0

Это уравнение можно разложить:

(r + 1)^2 = 0

Таким образом, у нас есть один корень с кратностью 2:

r = -1

Теперь мы можем записать общее решение однородного уравнения:

y_h = C1 * e^(-x) + C2 * x * e^(-x),

где C1 и C2 - произвольные константы.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения:

y'' + 2y' + y = 1 + e^x.

Мы можем предположить, что частное решение имеет вид:

y_p = A + B * e^x,

где A и B - некоторые константы, которые мы определим.

Теперь найдем производные y_p:

• y_p' = B * e^x,
• y_p'' = B * e^x.

Подставим y_p, y_p' и y_p'' в исходное уравнение:

B * e^x + 2B * e^x + A + B * e^x = 1 + e^x.

Соберем все члены:

(B + 2B + B)e^x + A = 1 + e^x.

Это упрощается до:

4B * e^x + A = 1 + e^x.

Теперь приравняем коэффициенты:

• 4B = 1,
• A = 1.

Решим первое уравнение:

B = 1/4.

Таким образом, мы нашли частное решение:

y_p = 1 + (1/4)e^x.

Теперь мы можем записать общее решение исходного неоднородного уравнения:

y = y_h + y_p = C1 * e^(-x) + C2 * x * e^(-x) + 1 + (1/4)e^x.

Это и есть окончательное решение уравнения y'' + 2y' + y = 1 + e^x.