Как с помощью двойного интеграла вычислить площадь плоской области D, ограниченной следующими линиями:

1. xy=9
2. y=x
3. y=6

Математика Колледж Двойные интегралы и площади фигур двойной интеграл площадь плоской области ограниченные линии xy=9 y=x y=6 вычисление площади Новый

Чтобы вычислить площадь плоской области D, ограниченной заданными линиями, мы будем использовать двойной интеграл. Давайте разберем шаги решения этой задачи.

Шаг 1: Определение границ области D

Сначала нам нужно понять, как выглядят линии, которые ограничивают область D:

• Линия xy = 9 - это гипербола, которая имеет асимптоты по осям координат.
• Линия y = x - это прямая, проходящая через начало координат с углом 45 градусов.
• Линия y = 6 - это горизонтальная прямая на уровне y = 6.

Теперь найдем точки пересечения этих линий, чтобы определить границы области D.

Шаг 2: Находим точки пересечения

1. Пересечение y = x и y = 6:
   • Подставляем y = 6 в уравнение y = x: x = 6. Таким образом, точка пересечения: (6, 6).
2. Пересечение y = x и xy = 9:
   • Подставляем y = x в уравнение xy = 9: x^2 = 9. Это дает x = 3 и x = -3. Соответственно, точки пересечения: (3, 3) и (-3, -3).
3. Пересечение y = 6 и xy = 9:
   • Подставляем y = 6 в уравнение xy = 9: 6x = 9. Это дает x = 1.5. Таким образом, точка пересечения: (1.5, 6).

Теперь мы имеем три ключевые точки: (3, 3), (6, 6) и (1.5, 6).

Шаг 3: Определение области интегрирования

Теперь мы можем определить границы интегрирования. Область D будет находиться между линией y = x и линией y = 6, а также внутри гиперболы xy = 9.

Для данной области интегрирования мы можем выразить y через x:

• Нижняя граница: y = x (от 1.5 до 3).
• Верхняя граница: y = 6 (от 1.5 до 6).

Шаг 4: Запись двойного интеграла

Теперь мы можем записать двойной интеграл для вычисления площади области D:

P = ∫∫_D dA = ∫(от 1.5 до 3) ∫(от x до 6) dy dx

Шаг 5: Вычисление интеграла

Сначала вычислим внутренний интеграл:

1. ∫(от x до 6) dy = [y] (от x до 6) = 6 - x.

Теперь подставим это значение в внешний интеграл:

P = ∫(от 1.5 до 3) (6 - x) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

1. ∫(от 1.5 до 3) (6 - x) dx = [6x - (x^2)/2] (от 1.5 до 3).
2. Теперь подставляем границы: (6*3 - (3^2)/2) - (6*1.5 - (1.5^2)/2).
3. Это равно (18 - 4.5) - (9 - 1.125) = 13.5 - 7.875 = 5.625.

Ответ: Площадь области D равна 5.625.