Как составить уравнение общей касательной к эллипсу 3x²+4y²=24 и гиперболе 5x²-3y²+20x-12y=0?

Математика Колледж Уравнения касательных к кривым второго порядка Уравнение касательной эллипс гипербола математика 12 класс составление уравнения общая касательная Новый

Чтобы составить уравнение общей касательной к эллипсу и гиперболе, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Приведение уравнений к стандартному виду

• Эллипс: Уравнение эллипса 3x² + 4y² = 24 можно привести к стандартному виду, разделив обе части на 24:
• x²/8 + y²/6 = 1
• Теперь мы видим, что эллипс имеет полуоси a = √8 и b = √6.
• Гипербола: Уравнение гиперболы 5x² - 3y² + 20x - 12y = 0 нужно привести к стандартному виду:
• Сначала сгруппируем и упростим его:
• 5(x² + 4x) - 3(y² + 4y) = 0
• Теперь завершаем квадрат:
• 5((x + 2)² - 4) - 3((y + 2)² - 4) = 0
• После упрощения получаем:
• 5(x + 2)² - 3(y + 2)² = 20
• Или:
• (x + 2)²/4 - (y + 2)²/20 = 1
• Теперь гипербола имеет центр в (-2, -2) и асимптоты, которые можно найти позже.

Шаг 2: Определение общего уравнения касательной

Общее уравнение касательной к кривым имеет вид:

y = mx + c

где m - угловой коэффициент, а c - свободный член.

Шаг 3: Подстановка в уравнения

Теперь подставим уравнение касательной в уравнение эллипса и гиперболы.

• Для эллипса:
• 3x² + 4(mx + c)² = 24
• 3x² + 4(m²x² + 2mcx + c²) = 24
• Соберем все в одно уравнение:
• (3 + 4m²)x² + (8mc)x + (4c² - 24) = 0
• Для гиперболы:
• 5x² - 3(mx + c)² + 20x - 12(mx + c) = 0
• 5x² - 3(m²x² + 2mcx + c²) + 20x - 12mx - 12c = 0
• Соберем все в одно уравнение:
• (5 - 3m²)x² + (20 - 12m - 6mc)x + (-3c² - 12c) = 0

Шаг 4: Условие для общей касательной

Для того чтобы линия была касательной к обеим кривым, дискриминанты этих квадратных уравнений должны быть равны нулю:

• Дискриминант для эллипса: D₁ = (8mc)² - 4(3 + 4m²)(4c² - 24) = 0
• Дискриминант для гиперболы: D₂ = (20 - 12m - 6mc)² - 4(5 - 3m²)(-3c² - 12c) = 0

Шаг 5: Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (m и c). Решив эту систему, мы найдем параметры касательной.

Шаг 6: Получение уравнения касательной

После нахождения значений m и c, подставьте их обратно в уравнение y = mx + c, чтобы получить уравнение общей касательной к эллипсу и гиперболе.

Таким образом, вы сможете составить уравнение общей касательной к данным кривым. Если у вас возникнут вопросы на каком-либо этапе, не стесняйтесь спрашивать!