Как упростить выражение (sin alpha)/(1 + cos alpha) + (1 + cos alpha)/(sin alpha)?

Математика Колледж Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения математика 12 класс Тригонометрия sin alpha cos alpha математические выражения Новый

Чтобы упростить выражение (sin alpha)/(1 + cos alpha) + (1 + cos alpha)/(sin alpha), давайте выполним несколько шагов.

1. Сначала найдем общий знаменатель. В данном случае общий знаменатель будет равен (1 + cos alpha) * (sin alpha).
2. Перепишем каждую дробь с общим знаменателем:
• (sin alpha)/(1 + cos alpha) = (sin alpha * sin alpha) / ((1 + cos alpha) * sin alpha) = sin^2 alpha / ((1 + cos alpha) * sin alpha)
• (1 + cos alpha)/(sin alpha) = ((1 + cos alpha) * (1 + cos alpha)) / (sin alpha * (1 + cos alpha)) = (1 + cos alpha)^2 / (sin alpha * (1 + cos alpha))
3. Теперь объединяем дроби:

(sin^2 alpha + (1 + cos alpha)^2) / ((1 + cos alpha) * sin alpha)

4. Упростим числитель:
• (1 + cos alpha)^2 = 1 + 2cos alpha + cos^2 alpha
• Итак, числитель будет: sin^2 alpha + 1 + 2cos alpha + cos^2 alpha
5. Используем основное тригонометрическое тождество: sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1.

Поэтому числитель можно упростить:

1 + 1 + 2cos alpha = 2 + 2cos alpha = 2(1 + cos alpha)

6. Теперь подставим это обратно в дробь:

(2(1 + cos alpha)) / ((1 + cos alpha) * sin alpha)

7. Сократим (1 + cos alpha): Если 1 + cos alpha не равно 0, то мы можем сократить:

2 / sin alpha

Таким образом, окончательный ответ: 2 / sin alpha, при условии, что 1 + cos alpha не равно 0.