Для восстановления аналитической функции f(z) из функции u(x, y) = 1 - e^x sin y, необходимо использовать теорему о связи между действительной и мнимой частями аналитической функции. Если функция f(z) = u(x, y) + iv(x, y), то u и v должны удовлетворять уравнениям Коши-Римана.

Шаг 1: Найти частные производные функции u.

• Находим частную производную u по x:
  • u(x, y) = 1 - e^x sin y
  • ∂u/∂x = -e^x sin y.
• Находим частную производную u по y:
  • ∂u/∂y = -e^x cos y.

Шаг 2: Использовать уравнения Коши-Римана.

Уравнения Коши-Римана гласит, что:

• ∂u/∂x = ∂v/∂y,
• ∂u/∂y = -∂v/∂x.

Теперь подставим найденные производные:

• ∂v/∂y = -e^x sin y,
• -∂v/∂x = -e^x cos y.

Из второго уравнения получаем:

• ∂v/∂x = e^x cos y.

Шаг 3: Найти функцию v(x, y).

Теперь интегрируем ∂v/∂y по y:

• v(x, y) = ∫(-e^x sin y) dy = e^x cos y + g(x),

где g(x) - произвольная функция от x.

Теперь интегрируем ∂v/∂x по x:

• v(x, y) = ∫(e^x cos y) dx = e^x cos y + h(y),

где h(y) - произвольная функция от y.

Сравнивая оба выражения для v(x, y), получаем:

• g(x) = h(y) = C, где C - константа.

Таким образом, v(x, y) = e^x cos y + C.

Шаг 4: Записать полную аналитическую функцию f(z).

Теперь мы можем записать f(z):

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = (1 - e^x sin y) + i(e^x cos y + C).

Шаг 5: Найти производную f(z).

Теперь, чтобы найти производную f(z), используем производную от экспоненты:

• f'(z) = ∂u/∂x + i∂v/∂x = -e^x sin y + i(e^x cos y).

Шаг 6: Условия f(0) = 0.

Теперь подставим z = 0 (где x = 0 и y = 0):

• u(0, 0) = 1 - e^0 sin 0 = 1 - 0 = 1,
• v(0, 0) = e^0 cos 0 + C = 1 + C.

Чтобы f(0) = 0, необходимо, чтобы 1 + C = 0, то есть C = -1.

Таким образом, окончательная аналитическая функция:

f(z) = (1 - e^x sin y) + i(e^x cos y - 1).

И производная:

f'(z) = -e^x sin y + i(e^x cos y).

Это и есть ответ на вашу задачу!