Как вычислить cos(2arcctg√5)? Помогите решить!

Математика Колледж Тригонометрические функции и их свойства вычислить cos(2arcctg√5) решение задачи по математике Тригонометрия арктангенс косинус математические формулы Новый

Чтобы вычислить cos(2arcctg(√5)), давайте разобьем задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем значение arcctg(√5).

arcctg(x) - это угол, котрый соответствует котангенсу x. В нашем случае, мы ищем угол, котрый имеет котангенс √5. Обозначим этот угол за α. То есть:

ctg(α) = √5.

Из этого уравнения мы можем выразить tg(α):

tg(α) = 1 / ctg(α) = 1 / √5.

Шаг 2: Найдем sin(α) и cos(α).

Теперь, используя определение тангенса, мы можем представить его в виде:

• tg(α) = sin(α) / cos(α) = 1 / √5.

Это означает, что:

• sin(α) = 1k,
• cos(α) = √5k,

где k - это некий коэффициент, который мы можем определить из условия, что sin²(α) + cos²(α) = 1:

• 1² + (√5)² = 1 + 5 = 6,
• k² = 1 / 6,
• k = 1 / √6.

Теперь подставим значение k:

• sin(α) = 1 / √6,
• cos(α) = √5 / √6.

Шаг 3: Найдем cos(2α) с помощью формулы двойного угла.

Используем формулу для косинуса двойного угла:

cos(2α) = cos²(α) - sin²(α).

Теперь подставим найденные значения:

• cos²(α) = (√5 / √6)² = 5 / 6,
• sin²(α) = (1 / √6)² = 1 / 6.

Теперь подставим в формулу:

cos(2α) = (5 / 6) - (1 / 6) = 4 / 6 = 2 / 3.

Ответ: cos(2arcctg(√5)) = 2 / 3.