Как вычислить интеграл от -2(x^2+1)dx с нижним пределом -2 и верхним пределом 0?

Математика Колледж Интегралы и их применение вычислить интеграл интеграл от -2(x^2+1)dx пределы интегрирования математика интегралы определенный интеграл Новый

Чтобы вычислить определенный интеграл от функции -2(x^2 + 1) с нижним пределом -2 и верхним пределом 0, следуем следующим шагам:

1. Определим функцию для интегрирования:

   Наша функция f(x) = -2(x^2 + 1).

2. Найдем первообразную функции:

   Для нахождения первообразной f(x) = -2(x^2 + 1) мы можем использовать правила интегрирования.

   • Интеграл от x^2 равен (1/3)x^3.
   • Интеграл от 1 равен x.

   Таким образом, первообразная F(x) будет:

   F(x) = -2 * (1/3)x^3 - 2x = - (2/3)x^3 - 2x + C, где C - произвольная константа.

3. Подставим пределы интегрирования:

   Теперь нам нужно вычислить определенный интеграл от -2 до 0:

   ∫[от -2 до 0] -2(x^2 + 1)dx = F(0) - F(-2).

4. Вычислим F(0):

   F(0) = - (2/3)(0)^3 - 2(0) = 0.

5. Теперь вычислим F(-2):

   F(-2) = - (2/3)(-2)^3 - 2(-2).

   Сначала вычислим (-2)^3 = -8, затем:

   F(-2) = - (2/3)(-8) + 4 = (16/3) + 4 = (16/3) + (12/3) = (28/3).

6. Теперь подставим значения в формулу:

   ∫[от -2 до 0] -2(x^2 + 1)dx = F(0) - F(-2) = 0 - (28/3) = - (28/3).

Ответ: Значение определенного интеграла от -2(x^2 + 1) с нижним пределом -2 и верхним пределом 0 равно - (28/3).