Как вычислить площадь области, заключенной между кривыми y = sin(x), y = cos(x) и вертикальными линиями x = 0, x = 2π?

Математика Колледж Площадь между кривыми площадь области кривые y = sin(x) y = cos(x) вертикальные линии x = 0 x = 2π вычисление площади Новый

Чтобы вычислить площадь области, заключенной между кривыми y = sin(x) и y = cos(x) и вертикальными линиями x = 0 и x = 2π, мы будем следовать нескольким шагам.

1. Найти точки пересечения кривых.

   Сначала нам нужно найти, где функции sin(x) и cos(x) пересекаются. Для этого приравняем их:

   sin(x) = cos(x)

   Это можно переписать как:

   tan(x) = 1

   Решая это уравнение, мы получаем:

   x = π/4 + nπ, где n - целое число.

   В пределах от 0 до 2π, получаем две точки пересечения: x = π/4 и x = 5π/4.

2. Определить, какая функция выше.

   Теперь нужно определить, какая из функций больше в промежутках [0, π/4], [π/4, 5π/4] и [5π/4, 2π].

   • Для x = 0: sin(0) = 0, cos(0) = 1, значит cos(x) > sin(x).
   • Для x = π/2: sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0, значит sin(x) > cos(x).
   • Для x = 3π/2: sin(3π/2) = -1, cos(3π/2) = 0, значит cos(x) > sin(x).

   Таким образом, мы можем заключить:

   • На интервале [0, π/4]: cos(x) > sin(x).
   • На интервале [π/4, 5π/4]: sin(x) > cos(x).
   • На интервале [5π/4, 2π]: cos(x) > sin(x).
3. Записать интегралы для площади.

   Площадь области будет равна сумме площадей между кривыми на каждом из интервалов:

   Площадь = интеграл от 0 до π/4 (cos(x) - sin(x)) dx + интеграл от π/4 до 5π/4 (sin(x) - cos(x)) dx + интеграл от 5π/4 до 2π (cos(x) - sin(x)) dx.

4. Вычислить интегралы.

   Теперь вычислим каждый интеграл по отдельности:

   • Интеграл от 0 до π/4: ∫(cos(x) - sin(x)) dx = [sin(x) + cos(x)] от 0 до π/4 = (sin(π/4) + cos(π/4)) - (sin(0) + cos(0)) = (√2/2 + √2/2) - (0 + 1) = √2 - 1.
   • Интеграл от π/4 до 5π/4: ∫(sin(x) - cos(x)) dx = [-cos(x) - sin(x)] от π/4 до 5π/4 = [-(cos(5π/4) + sin(5π/4)) - (-(cos(π/4) + sin(π/4))] = [(-(-√2/2) - (-√2/2)) - (-(√2/2) - (√2/2))] = 2√2.
   • Интеграл от 5π/4 до 2π: ∫(cos(x) - sin(x)) dx = [sin(x) + cos(x)] от 5π/4 до 2π = (sin(2π) + cos(2π)) - (sin(5π/4) + cos(5π/4)) = (0 - 1) - (-√2/2 - (-√2/2)) = -1 + √2 = √2 - 1.
5. Сложить все площади.

   Теперь мы можем сложить все найденные площади:

   Площадь = (√2 - 1) + (2√2) + (√2 - 1) = 4√2 - 2.

Таким образом, площадь области, заключенной между кривыми y = sin(x) и y = cos(x) на интервале от 0 до 2π, равна 4√2 - 2.