Как вычислить полный дифференциал выражения (1,04^3+ln1,02)^(1/2)?

Математика Колледж Полный дифференциал функций нескольких переменных вычислить полный дифференциал полный дифференциал математика 12 выражение 1,04^3 ln1,02 математический анализ Новый

Чтобы вычислить полный дифференциал выражения (1,04^3 + ln(1,02))^(1/2), нам нужно использовать правила дифференцирования и формулу для полного дифференциала. Давайте разберем процесс шаг за шагом.

1. Определим функцию:

   Обозначим z как z = (1,04^3 + ln(1,02))^(1/2). Эта функция зависит от двух переменных: x = 1,04 и y = 1,02.

2. Найдем частные производные:
   • Частная производная по x:

     Сначала найдем ∂z/∂x. Используем цепное правило:

     ∂z/∂x = (1/2)(1,04^3 + ln(1,02))^(-1/2) * (3 * 1,04^2 * ln(1,02)')

     Здесь ln(1,02)' = 0, так как это константа.

     Таким образом, ∂z/∂x = (3 * 1,04^2)/(2 * (1,04^3 + ln(1,02))^(1/2)).

   • Частная производная по y:

     Теперь найдем ∂z/∂y:

     ∂z/∂y = (1/2)(1,04^3 + ln(1,02))^(-1/2) * (1/y)

     Так как ln(1,02)' = 1/y для y = 1,02.

     Таким образом, ∂z/∂y = (1/(2 * y * (1,04^3 + ln(1,02))^(1/2)).

3. Запишем полный дифференциал:

   Полный дифференциал dz можно записать как:

   dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy

   Теперь подставляем найденные частные производные:

   dz = (3 * 1,04^2/(2 * (1,04^3 + ln(1,02))^(1/2)))dx + (1/(2 * y * (1,04^3 + ln(1,02))^(1/2)))dy

Таким образом, мы нашли полный дифференциал для заданного выражения. Теперь вы можете использовать этот полный дифференциал, чтобы оценить изменения функции z при малых изменениях x и y.