Как вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат, если Ф задана уравнениями: yx = 4 и 2x + y - 6 = 0, а ось вращения - Ox? Пожалуйста, приведите график и объяснение.

Математика Колледж Объем тел вращения Объём тела вращения вычисление объёма уравнения фигуры график функции ось вращения Ox математика 12 класс точность до двух знаков задача по геометрии Новый

Для вычисления объема тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси Ox, нам нужно следовать нескольким шагам. Давайте начнем с анализа данных уравнений и нахождения границ интегрирования.

Шаг 1: Найдем точки пересечения линий

У нас есть два уравнения:

• yx = 4, что можно переписать как y = 4/x;
• 2x + y - 6 = 0, что можно переписать как y = 6 - 2x.

Для нахождения точек пересечения, приравняем два уравнения:

4/x = 6 - 2x.

Умножим обе стороны на x (при условии, что x не равен нулю):

4 = (6 - 2x)x.

Это уравнение можно привести к квадратному:

2x^2 - 6x + 4 = 0.

Решим его с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4*2*4 = 36 - 32 = 4.

Корни уравнения:

x1 = (6 + √4) / (2*2) = 5/2 = 2.5;

x2 = (6 - √4) / (2*2) = 2/2 = 1.

Таким образом, точки пересечения находятся в x = 1 и x = 2.5.

Шаг 2: Найдем объем тела вращения

Для вычисления объема тела вращения используем метод дисков. Формула для объема V выглядит следующим образом:

V = π * ∫[a, b] (f(x))^2 dx,

где f(x) - это функция, описывающая верхнюю границу фигуры, а a и b - границы интегрирования.

В нашем случае верхней границей будет функция y = 6 - 2x, а нижней - y = 4/x. Таким образом, объем можно выразить как:

V = π * ∫[1, 2.5] ((6 - 2x)^2 - (4/x)^2) dx.

Шаг 3: Вычислим интеграл

Рассмотрим интеграл:

V = π * ∫[1, 2.5] ((6 - 2x)^2 - (16/x^2)) dx.

Раскроем скобки:

(6 - 2x)^2 = 36 - 24x + 4x^2.

Таким образом, выражение для интеграла будет:

V = π * ∫[1, 2.5] (36 - 24x + 4x^2 - 16/x^2) dx.

Теперь вычислим интеграл по частям:

• ∫36 dx = 36x;
• ∫(-24x) dx = -12x^2;
• ∫(4x^2) dx = (4/3)x^3;
• ∫(-16/x^2) dx = 16/x.

Теперь подставим границы интегрирования от 1 до 2.5:

V = π * [ (36(2.5) - 12(2.5)^2 + (4/3)(2.5)^3 + 16/2.5) - (36(1) - 12(1)^2 + (4/3)(1)^3 + 16/1) ].

Шаг 4: Подсчитаем значения

Теперь подставим значения:

• Для x = 2.5: 36*2.5 = 90;
• -12*(2.5)^2 = -12*6.25 = -75;
• (4/3)*(2.5)^3 = (4/3)*(15.625) = 20.8333;
• 16/2.5 = 6.4.

Итого:

90 - 75 + 20.8333 + 6.4 = 42.2333.

Теперь для x = 1:

• 36*1 = 36;
• -12*1 = -12;
• (4/3)*1 = 4/3 = 1.3333;
• 16/1 = 16.

Итого:

36 - 12 + 1.3333 + 16 = 41.3333.

Теперь вычтем:

42.2333 - 41.3333 = 0.9.

Таким образом, объем V = π * 0.9 = 2.8274.

Шаг 5: Округлим до двух знаков после запятой

Итак, объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси Ox, равен примерно 2.83.

График данной фигуры можно построить, но, к сожалению, я не могу предоставить графические изображения. Однако, вы можете использовать графические калькуляторы или программное обеспечение для построения графиков, чтобы визуализировать линии y = 4/x и y = 6 - 2x, а также область, которая будет вращаться вокруг оси Ox.