Какое уравнение нормали к кривой y=x^3-2x^2+4x-7 проходит через точку (2,1)?

Математика Колледж Уравнения касательных и нормалей к графикам функций уравнение нормали кривая точка математика y=x^3-2x^2+4x-7 Новый

Чтобы найти уравнение нормали к кривой y = x^3 - 2x^2 + 4x - 7, которая проходит через точку (2, 1), следуем следующим шагам:

1. Найдем производную функции y:

   Производная функции y = x^3 - 2x^2 + 4x - 7 будет равна:

   y' = 3x^2 - 4x + 4

2. Найдем значение производной в точке x = 2:

   Подставляем x = 2 в производную:

   y'(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 4 = 3(4) - 8 + 4 = 12 - 8 + 4 = 8

   Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке x = 2 равен 8.

3. Найдем угловой коэффициент нормали:

   Угловой коэффициент нормали равен отрицательному обратному значению углового коэффициента касательной:

   k = -1 / 8

4. Найдем координаты точки касания на кривой:

   Подставим x = 2 в уравнение кривой, чтобы найти соответствующее значение y:

   y(2) = (2)^3 - 2(2)^2 + 4(2) - 7 = 8 - 8 + 8 - 7 = 1

   Таким образом, точка касания — это (2, 1).

5. Запишем уравнение нормали:

   Уравнение прямой в общем виде можно записать как:

   y - y0 = k(x - x0),

   где (x0, y0) — точка касания, а k — угловой коэффициент нормали.

   Подставим известные значения:

   y - 1 = -1/8(x - 2).

6. Приведем уравнение к стандартному виду:

   Умножим обе стороны на 8, чтобы избавиться от дроби:

   8(y - 1) = -(x - 2)

   8y - 8 = -x + 2

   8y + x - 10 = 0.

Таким образом, уравнение нормали к кривой y = x^3 - 2x^2 + 4x - 7, проходящей через точку (2, 1), имеет вид:

8y + x - 10 = 0.