Какова вероятность того, что точка P окажется в начале координат O после четырех бросков игральной кости, если P движется по прямой линии в соответствии с правилами перемещения в зависимости от выпавшего числа на кости?

Математика Колледж Вероятностные характеристики случайных процессов вероятность точка P начало координат O броски игральной кости движение по прямой линии правила перемещения выпавшее число на кости Новый

Чтобы решить задачу, давайте сначала разберемся, как точка P будет перемещаться в зависимости от выпавших чисел на игральной кости. Игральная кость имеет шесть граней, и при каждом броске она может показать одно из чисел от 1 до 6. Мы можем считать, что:

• Выпавшее число 1 означает движение на 1 единицу вправо (по оси X).
• Выпавшее число 2 означает движение на 1 единицу влево (по оси X).
• Выпавшие числа 3, 4, 5, 6 не влияют на движение по оси X.

Таким образом, для того чтобы точка P вернулась в начало координат O после четырех бросков, необходимо, чтобы количество шагов вправо и влево было одинаковым. Это значит, что количество выпавших единиц должно быть равно количеству выпавших двоек.

Теперь давайте обозначим:

• X - количество единиц, выпавших на игральной кости.
• Y - количество двоек, выпавших на игральной кости.

Для того чтобы P вернулась в начало, должно выполняться условие:

X = Y

Поскольку мы делаем 4 броска, количество оставшихся бросков (которые могут быть 3, 4, 5 или 6) будет равно 4 - (X + Y). Таким образом, нам нужно рассмотреть все возможные комбинации, где X + Y <= 4.

Теперь давайте посчитаем общее количество возможных комбинаций бросков:

Общее количество комбинаций = 6^4 = 1296

Теперь мы должны подсчитать количество благоприятных исходов, когда X = Y. Возможные значения X и Y могут быть 0, 1 или 2 (так как 2 + 2 = 4). Рассмотрим каждый случай:

1. X = 0, Y = 0:
   • Все 4 броска могут быть 3, 4, 5 или 6. Количество способов = 4^4 = 256.
2. X = 1, Y = 1:
   • 2 броска - единицы, 2 броска - двоек. Количество способов = (4! / (2! * 2!)) * 4^2 = 6 * 16 = 96.
3. X = 2, Y = 2:
   • 2 броска - единицы, 2 броска - двоек. Количество способов = (4! / (2! * 2!)) * 4^0 = 6 * 1 = 6.

Теперь суммируем все благоприятные исходы:

256 + 96 + 6 = 358

Теперь мы можем найти вероятность того, что точка P окажется в начале координат O после четырех бросков:

Вероятность = Количество благоприятных исходов / Общее количество исходов = 358 / 1296

Эту дробь можно упростить, но для практических целей достаточно оставить ее в таком виде. Таким образом, вероятность того, что точка P окажется в начале координат O после четырех бросков игральной кости, равна 358/1296.