Какой градиент функции z=arccos (x-y) в точке М (0;0)?

Математика Колледж Частные производные и градиент функции нескольких переменных градиент функции z=arccos(x-y) точка М(0;0) математика производная векторный анализ Новый

Чтобы найти градиент функции z = arccos(x - y) в точке М(0, 0), нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем частные производные функции.

Градиент функции в точке определяется как вектор, состоящий из частных производных функции по каждой переменной. В нашем случае это x и y. Обозначим функцию как:

f(x, y) = arccos(x - y)

Теперь найдем частные производные:

• Частная производная по x:

Для нахождения частной производной по x, используем правило дифференцирования арккосинуса:

f'(x) = -1 / sqrt(1 - (x - y)^2) * (1)

Таким образом, частная производная по x будет:

∂f/∂x = -1 / sqrt(1 - (x - y)^2)

• Частная производная по y:

Теперь найдем частную производную по y:

f'(y) = -1 / sqrt(1 - (x - y)^2) * (-1)

Таким образом, частная производная по y будет:

∂f/∂y = 1 / sqrt(1 - (x - y)^2)

Шаг 2: Подставим координаты точки М(0, 0) в частные производные.

Теперь нам нужно подставить x = 0 и y = 0 в найденные частные производные:

• ∂f/∂x в точке (0, 0):

∂f/∂x(0, 0) = -1 / sqrt(1 - (0 - 0)^2) = -1 / sqrt(1) = -1

• ∂f/∂y в точке (0, 0):

∂f/∂y(0, 0) = 1 / sqrt(1 - (0 - 0)^2) = 1 / sqrt(1) = 1

Шаг 3: Составим градиент в точке М(0, 0).

Градиент функции в точке М(0, 0) будет вектором, состоящим из частных производных:

∇f(0, 0) = (∂f/∂x(0, 0), ∂f/∂y(0, 0)) = (-1, 1)

Ответ: Градиент функции z = arccos(x - y) в точке М(0, 0) равен вектору (-1, 1).