Когда два спортсмена, бегущие в противоположных направлениях по замкнутой дорожке стадиона, встретятся впервые, если один из них тратит на 4 минуты меньше времени на полный круг и догоняет второго каждые 8 минут, при условии, что они бегут с одинаковой скоростью?

Математика Колледж Задачи на движение спортсмены замкнутая дорожка встреча бег скорость время круг догонять задача по математике Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся с данными, которые у нас есть, и с тем, что нам нужно найти.

Дано:

• Один спортсмен тратит на 4 минуты меньше времени на полный круг, чем второй.
• Они встречаются каждые 8 минут.
• Оба спортсмена бегут с одинаковой скоростью.

Обозначим:

• T1 - время, которое тратит первый спортсмен на полный круг.
• T2 - время, которое тратит второй спортсмен на полный круг.

По условию задачи, T1 = T2 - 4 минуты.

Теперь, так как они бегут в противоположных направлениях, их скорости складываются, когда они встречаются. Если обозначить длину круга за L, то скорость первого спортсмена будет L/T1, а второго - L/T2.

Скорость первого спортсмена: V1 = L/T1

Скорость второго спортсмена: V2 = L/T2

Скорости складываются, поэтому их общая скорость при встрече будет:

V = V1 + V2 = L/T1 + L/T2.

Когда они встречаются, они проходят расстояние, равное длине круга, за время 8 минут. Таким образом, мы можем записать уравнение:

8 минут * (V1 + V2) = L.

Подставим выражения для V1 и V2:

8 * (L/T1 + L/T2) = L.

Упростим это уравнение:

8 * (1/T1 + 1/T2) = 1.

Теперь подставим T2 = T1 + 4:

8 * (1/T1 + 1/(T1 + 4)) = 1.

Умножим обе стороны на T1 * (T1 + 4):

8 * (T1 + 4 + T1) = T1 * (T1 + 4).

Упростим уравнение:

16T1 + 32 = T1^2 + 4T1.

Переносим все в одну сторону:

T1^2 - 12T1 - 32 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 * 1 * (-32) = 144 + 128 = 272.

Находим корни:

T1 = (12 ± √272) / 2.

√272 = √(16 * 17) = 4√17. Подставим это значение:

T1 = (12 ± 4√17) / 2 = 6 ± 2√17.

Поскольку время не может быть отрицательным, выбираем положительный корень:

T1 = 6 + 2√17.

Теперь найдем T2:

T2 = T1 + 4 = 10 + 2√17.

Таким образом, спортсмены встретятся впервые через 8 минут, как указано в условии задачи.

Ответ: Они встретятся впервые через 8 минут.