Масса опухоли увеличивается с постоянной скоростью, пропорциональной её размеру. Первая измеренная масса составила 4 грамма, а через 4 месяца она достигла 6,76 грамма.

1. (a) (5 баллов) Какова была масса опухоли за 6 месяцев до первого измерения?
2. (b) (5 баллов) Мог ли медицинский прибор, который фиксирует опухоли массой 1 грамм или больше, обнаружить опухоль в это время?
3. (c) (5 баллов) Каков самый ранний момент, когда опухоль могла быть обнаружена?

Математика Колледж Экспоненциальный рост и уравнения, описывающие динамику процессов масса опухоли увеличение массы пропорциональный рост математическая модель медицинский прибор обнаружение опухоли анализ данных период наблюдения математические задачи биология и математика Новый

Для решения данной задачи мы будем использовать модель экспоненциального роста, поскольку масса опухоли увеличивается с постоянной скоростью, пропорциональной её размеру. Это можно описать уравнением:

dM/dt = kM

где M - масса опухоли, t - время, а k - постоянная пропорциональности.

Решение данного уравнения даёт нам:

M(t) = M0 * e^(kt)

где M0 - начальная масса опухоли, а t - время в месяцах.

Теперь давайте решим каждую часть задачи по очереди.

(a) Какова была масса опухоли за 6 месяцев до первого измерения?

У нас есть следующие данные:

• Начальная масса (в момент первого измерения) M(0) = 4 грамма.
• Масса через 4 месяца M(4) = 6,76 грамма.

Сначала мы можем найти значение k, используя данные о массе через 4 месяца:

6,76 = 4 * e^(4k)

Теперь решим это уравнение для k:

1. Разделим обе стороны на 4:
2. e^(4k) = 6,76 / 4 = 1,69
3. Теперь применим натуральный логарифм:
4. 4k = ln(1,69)
5. k = ln(1,69) / 4

Теперь мы можем найти массу за 6 месяцев до первого измерения, то есть когда t = -6:

M(-6) = 4 * e^(-6k)

Сначала вычислим k:

k ≈ 0,155 (приблизительно, используя ln(1,69) ≈ 0,530 и деля на 4).

Теперь подставим значение k в уравнение:

M(-6) ≈ 4 * e^(-6 * 0,155)

Теперь вычислим M(-6):

e^(-0,93) ≈ 0,394.

Таким образом:

M(-6) ≈ 4 * 0,394 ≈ 1,576 грамма.

(b) Мог ли медицинский прибор, который фиксирует опухоли массой 1 грамм или больше, обнаружить опухоль в это время?

Согласно нашему расчету, масса опухоли за 6 месяцев до первого измерения составила примерно 1,576 грамма. Поскольку эта масса больше 1 грамма, прибор мог бы её обнаружить.

(c) Каков самый ранний момент, когда опухоль могла быть обнаружена?

Чтобы определить самый ранний момент, когда опухоль могла быть обнаружена, нам нужно найти время, когда масса опухоли стала равной 1 грамму:

1 = 4 * e^(kt)

Решим это уравнение для t:

1. Разделим обе стороны на 4:
2. e^(kt) = 1 / 4
3. Теперь применим натуральный логарифм:
4. kt = ln(1/4)
5. t = ln(1/4) / k

Зная k ≈ 0,155, подставим значение:

t ≈ ln(0,25) / 0,155.

ln(0,25) ≈ -1,386.

Таким образом:

t ≈ -1,386 / 0,155 ≈ -8,95 месяцев.

Это означает, что опухоль могла быть обнаружена примерно за 9 месяцев до первого измерения.