Чтобы определить, при каких значениях N первый игрок может выиграть, необходимо проанализировать игру и выявить выигрышные и проигрышные позиции.

Шаги решения:

1. Определим базовые случаи:
   • Если на столе 0 спичек, то игрок, который должен ходить, проигрывает.
   • Если 1, 2, 3, 4 или 5 спичек, то первый игрок может забрать все спички и выиграть.
2. Теперь рассмотрим ситуации, когда на столе от 6 до 10 спичек:
   • 6 спичек: любой ход (1-5) оставляет сопернику 1-5 спичек, что является выигрышной позицией для него. Значит, 6 - проигрышная позиция.
   • 7 спичек: первый игрок может взять 1 спичку и оставить 6 сопернику. Значит, 7 - выигрышная позиция.
   • 8 спичек: первый игрок может взять 2 спички и оставить 6 сопернику. Значит, 8 - выигрышная позиция.
   • 9 спичек: первый игрок может взять 3 спички и оставить 6 сопернику. Значит, 9 - выигрышная позиция.
   • 10 спичек: первый игрок может взять 4 спички и оставить 6 сопернику. Значит, 10 - выигрышная позиция.
3. Аналогично, 11 спичек - проигрышная позиция, так как любой ход оставляет сопернику выигрышные позиции (7-10).
4. Теперь мы можем заметить закономерность: каждые 6 спичек (0, 6, 12, 18 и т.д.) являются проигрышными позициями.

Таким образом:

Первый игрок может выиграть, если N не является кратным 6. Проверим предложенные значения:

• 37: не кратно 6 (выигрышная позиция)
• 64: не кратно 6 (выигрышная позиция)
• 100: не кратно 6 (выигрышная позиция)
• 132: кратно 6 (проигрышная позиция)
• 555: не кратно 6 (выигрышная позиция)
• 1234: не кратно 6 (выигрышная позиция)

Ответ: Первый игрок может выиграть при значениях N: 37, 64, 100, 555, 1234.