Очень нужна помощь, пожалуйста

Как найти среднее квадратичное отклонение случайной величины Х, если плотность распределения задана формулой f(x) = 5e^(-5x) при х ≥ 0?

Математика Колледж Статистика и теории вероятностей среднее квадратичное отклонение случайная величина плотность распределения формула f(x) математика 12 класс Новый

Чтобы найти среднее квадратичное отклонение случайной величины X, нужно следовать нескольким шагам. Среднее квадратичное отклонение определяется как корень из дисперсии. Дисперсия, в свою очередь, вычисляется с использованием интегралов. Давайте разберем процесс по шагам.

Шаг 1: Найдем математическое ожидание (E(X))

Математическое ожидание для непрерывной случайной величины определяется как:

E(X) = ∫ x * f(x) dx

В нашем случае:

f(x) = 5e^(-5x) при x ≥ 0.

Таким образом, мы можем записать:

E(X) = ∫ (x * 5e^(-5x)) dx от 0 до ∞.

Для вычисления этого интеграла используем метод интегрирования по частям:

• Пусть u = x, тогда du = dx.
• Пусть dv = 5e^(-5x)dx, тогда v = -e^(-5x).

Теперь применяем формулу интегрирования по частям:

∫ u dv = uv - ∫ v du.

Подставляем:

E(X) = [-xe^(-5x)] от 0 до ∞ + ∫ e^(-5x) dx от 0 до ∞.

Первый член равен 0, так как при x = ∞, e^(-5x) стремится к 0, а при x = 0, x = 0. Второй интеграл равен:

∫ e^(-5x) dx = -1/5 * e^(-5x) от 0 до ∞ = 1/5.

Таким образом, E(X) = 0 + 1/5 = 1/25.

Шаг 2: Найдем E(X^2)

Теперь нам нужно найти E(X^2), используя аналогичную формулу:

E(X^2) = ∫ x^2 * f(x) dx = ∫ (x^2 * 5e^(-5x)) dx от 0 до ∞.

Для этого интеграла также используем метод интегрирования по частям дважды или воспользуемся известной формулой для интеграла:

∫ x^n * e^(-ax) dx = n!/a^(n+1) для n = 2 и a = 5.

Тогда:

E(X^2) = 2!/5^3 = 2/125.

Шаг 3: Вычисляем дисперсию (D(X))

Дисперсия определяется как:

D(X) = E(X^2) - (E(X))^2.

Подставляем значения:

D(X) = 2/125 - (1/25)^2 = 2/125 - 1/625 = 10/625 - 1/625 = 9/625.

Шаг 4: Находим среднее квадратичное отклонение (σ)

Среднее квадратичное отклонение (σ) – это корень из дисперсии:

σ = √D(X) = √(9/625) = 3/25.

Таким образом, среднее квадратичное отклонение случайной величины X равно 3/25.