Одна известная компания из Силиконовой долины решила устроить хакатон, состоящий из 8 заданий. Случайная величина, описывающая количество успешно выполненных заданий, подчинена биномиальному закону распределения Bin (8, 0,71).

Какова вероятность того, что случайный участник успешно выполнит больше 2 и не больше 5 заданий, то есть вероятность события P (2 < E <= 5)?

Математика Колледж Биномиальное распределение вероятность биномиальное распределение случайная величина хакатон математика P(2 < E <= 5) задачи статистика Силиконовая долина Новый

Для решения этой задачи нам нужно рассчитать вероятность того, что случайный участник успешно выполнит больше 2 и не больше 5 заданий. Это можно записать как:

P(2 < E ≤ 5) = P(3) + P(4) + P(5)

Где E - это количество успешно выполненных заданий, которое подчиняется биномиальному распределению с параметрами n = 8 (количество заданий) и p = 0,71 (вероятность успешного выполнения каждого задания).

Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит следующим образом:

P(k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

где:

• C(n, k) - биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)
• p - вероятность успеха (в нашем случае 0,71)
• (1 - p) - вероятность неудачи (в нашем случае 0,29)
• n - общее количество испытаний (в нашем случае 8)
• k - количество успешных испытаний (в нашем случае 3, 4 и 5)

Теперь давайте посчитаем P(3), P(4) и P(5):

1. Для P(3):
   • C(8, 3) = 8! / (3! * (8 - 3)!) = 56
   • P(3) = 56 * (0,71^3) * (0,29^5)
2. Для P(4):
   • C(8, 4) = 8! / (4! * (8 - 4)!) = 70
   • P(4) = 70 * (0,71^4) * (0,29^4)
3. Для P(5):
   • C(8, 5) = 8! / (5! * (8 - 5)!) = 56
   • P(5) = 56 * (0,71^5) * (0,29^3)

Теперь подставим значения и посчитаем каждую вероятность:

1. P(3) = 56 * (0,71^3) * (0,29^5) ≈ 0,0561
2. P(4) = 70 * (0,71^4) * (0,29^4) ≈ 0,2159
3. P(5) = 56 * (0,71^5) * (0,29^3) ≈ 0,3076

Теперь сложим все эти вероятности:

P(2 < E ≤ 5) = P(3) + P(4) + P(5) ≈ 0,0561 + 0,2159 + 0,3076 ≈ 0,5796

Таким образом, вероятность того, что случайный участник успешно выполнит больше 2 и не больше 5 заданий, составляет примерно 0,5796 или 57,96%.