Помогите решить:

y=(tgx)⁴е^x.

Тут е^x тоже в степени, рядом с четвёркой.

Я знаю, что нужно использовать правило производных, таблицу, где tgx= 1/cos²x, но не пойму, что делать с ⁴е^x степенью. Прошу подробнее расписать решение.

Математика Колледж Производная функций решение производной производная функции правила производных производная tgx производная е^x математика 12 класс производная сложной функции производная произведения функций применение таблицы производных Новый

Для нахождения производной функции y = (tg(x))^4 * e^x, мы будем использовать правило произведения и правило цепи. Давайте разберем шаги более подробно.

Шаг 1: Определим компоненты функции

Функция y состоит из двух частей:

• u = (tg(x))^4
• v = e^x

Шаг 2: Применим правило произведения

Правило произведения гласит, что производная произведения двух функций u и v равна:

y' = u' * v + u * v'

Где:

• u' - производная u
• v' - производная v

Шаг 3: Найдем производные u и v

Сначала найдем производную v:

• v = e^x, следовательно, v' = e^x

Теперь найдем производную u = (tg(x))^4. Для этого используем правило цепи:

• u = f(g(x)), где f(t) = t^4 и g(x) = tg(x)
• По правилу цепи: u' = f'(g(x)) * g'(x)

Сначала найдем f'(t):

• f(t) = t^4, значит, f'(t) = 4t^3

Теперь подставим g(x):

• f'(g(x)) = 4(tg(x))^3

Теперь найдем g'(x):

• g(x) = tg(x), значит, g'(x) = 1/cos^2(x) = sec^2(x)

Теперь можем найти u':

• u' = 4(tg(x))^3 * sec^2(x)

Шаг 4: Подставим u, u', v и v' в формулу для производной y'

Теперь мы можем подставить все найденные значения в формулу для производной:

• y' = u' * v + u * v'
• y' = [4(tg(x))^3 * sec^2(x)] * e^x + (tg(x))^4 * e^x

Шаг 5: Упростим выражение

Теперь можем вынести e^x за скобки:

• y' = e^x [4(tg(x))^3 * sec^2(x) + (tg(x))^4]

Таким образом, производная функции y = (tg(x))^4 * e^x равна:

y' = e^x [4(tg(x))^3 * sec^2(x) + (tg(x))^4]

Теперь у вас есть полное решение задачи! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.