При каком положении тонкой собирающей линзы, находящейся на расстоянии L от экрана и с фокусным расстоянием F, превышающим L/4, диаметр светового пятна на экране будет минимальным, если линза перемещается между источником света и экраном?

Математика Колледж Оптика тонкая собирающая линза расстояние L фокусное расстояние F диаметр светового пятна минимальное значение перемещение линзы источник света экран Новый

Для решения данной задачи нам необходимо рассмотреть, как изменяется диаметр светового пятна на экране в зависимости от положения тонкой собирающей линзы. Рассмотрим основные шаги решения:

1. Определение параметров системы:
   • Пусть у нас есть источник света, линза и экран, расположенные на расстоянии L друг от друга.
   • Фокусное расстояние линзы обозначим как F.
   • Линза может перемещаться между источником света и экраном.
2. Использование формулы для изображения:
   • Согласно оптике, для тонкой линзы выполняется формула: 1/F = 1/d + 1/d', где d - расстояние от источника света до линзы, а d' - расстояние от линзы до экрана.
   • Из этой формулы мы можем выразить d' как: d' = 1/(1/F - 1/d).
3. Определение диаметра пятна:
   • Диаметр светового пятна на экране зависит от расстояния d' и диаметра источника света. Обычно считается, что диаметр пятна пропорционален d'.
   • Таким образом, для минимизации диаметра пятна нам нужно минимизировать d'.
4. Условия для минимизации:
   • Согласно условию задачи, F должно превышать L/4. Это важно, так как это определяет, как линза будет взаимодействовать с лучами света.
   • Для минимизации диаметра пятна необходимо, чтобы линза находилась на расстоянии, при котором изображение формируется на экране.
5. Определение оптимального положения линзы:
   • Оптимальное положение линзы можно найти, если d' будет равно L, то есть d + d' = L.
   • Подставляя d' в уравнение, мы можем найти, что d = L - d' = L - L = 0, что не подходит. Поэтому мы должны найти такое положение, при котором d' будет минимальным, но не равным нулю.
6. Итог:
   • Для минимального диаметра светового пятна линза должна находиться на расстоянии, равном F от источника света, и на расстоянии L - F от экрана.
   • Таким образом, при условии, что F > L/4, минимальный диаметр светового пятна будет достигнут, когда линза расположена так, что d = F и d' = L - F.

Таким образом, при соблюдении всех условий, мы можем утверждать, что положение линзы, при котором диаметр светового пятна на экране минимален, будет определяться соотношением между расстоянием до линзы и фокусным расстоянием, как описано выше.