Решите задачу, пожалуйста: sin(3x/2 + п/12) < 1/2

Математика Колледж Неравенства тригонометрических функций математика решение задачи синус неравенство Тригонометрия sin(3x/2 + п/12) 1/2 Новый

Для решения неравенства sin(3x/2 + π/12) < 1/2, необходимо следовать следующим шагам:

1. Определение интервалов: Сначала нужно определить, на каких интервалах функция синуса принимает значения меньше 1/2.
2. Изучение свойств функции синуса: Мы знаем, что sin(α) < 1/2 на интервалах:
• α ∈ (π/6 + 2kπ, 5π/6 + 2kπ), где k – любое целое число.
3. Подстановка: Мы подставим α = 3x/2 + π/12 в данные интервалы:
• 3x/2 + π/12 ∈ (π/6 + 2kπ, 5π/6 + 2kπ).
4. Решение первого неравенства: Рассмотрим первое неравенство:
• 3x/2 + π/12 > π/6 + 2kπ.
5. Упрощение: Упростим это неравенство:
• 3x/2 > π/6 - π/12 + 2kπ.
• 3x/2 > π/12 + 2kπ.
• x > (π/12 + 2kπ) * (2/3).
• x > π/18 + (4/3)kπ.
6. Решение второго неравенства: Теперь рассмотрим второе неравенство:
• 3x/2 + π/12 < 5π/6 + 2kπ.
7. Упрощение: Упростим это неравенство:
• 3x/2 < 5π/6 - π/12 + 2kπ.
• 3x/2 < 5π/6 - π/12 = 10π/12 - π/12 = 9π/12 = 3π/4.
• x < (3π/4) * (2/3).
• x < π/2.
8. Объединение результатов: Объединим результаты двух неравенств:
• π/18 + (4/3)kπ < x < π/2.

Таким образом, решение неравенства sin(3x/2 + π/12) < 1/2 имеет вид:

x ∈ (π/18 + (4/3)kπ, π/2), где k – любое целое число.