Для вычисления площади плоской фигуры с помощью двойных интегралов в полярных координатах, сначала преобразуем данное уравнение в полярные координаты. В полярных координатах мы имеем:

x = r * cos(θ), y = r * sin(θ),

где r – радиус, а θ – угол. Подставим эти выражения в уравнение:

(x^2 + y^2)^2 = a^2(4x^2 + y^2).

Сначала найдем, что (x^2 + y^2) = r^2, и подставим:

• (r^2)^2 = a^2(4(r * cos(θ))^2 + (r * sin(θ))^2),
• r^4 = a^2(4r^2 * cos^2(θ) + r^2 * sin^2(θ)).

Теперь вынесем r^2 за скобки:

• r^4 = a^2 * r^2(4cos^2(θ) + sin^2(θ)).

При условии, что r ≠ 0, можем разделить обе стороны на r^2:

• r^2 = a^2(4cos^2(θ) + sin^2(θ)).

Теперь можем выразить r:

• r = a * sqrt(4cos^2(θ) + sin^2(θ)).

Теперь, чтобы найти площадь, мы используем формулу для площади в полярных координатах:

Площадь S = 1/2 * ∫(θ1 до θ2) (r(θ))^2 dθ.

В нашем случае:

• (r(θ))^2 = a^2(4cos^2(θ) + sin^2(θ)),
• Следовательно, S = 1/2 * ∫(θ1 до θ2) a^2(4cos^2(θ) + sin^2(θ)) dθ.

Теперь определим пределы интегрирования θ1 и θ2. Для данной фигуры они составляют 0 и 2π, так как фигура симметрична относительно начала координат:

• θ1 = 0,
• θ2 = 2π.

Теперь подставим пределы в формулу:

• S = 1/2 * ∫(0 до 2π) a^2(4cos^2(θ) + sin^2(θ)) dθ.

Теперь можем вынести a^2/2 за знак интеграла:

• S = (a^2 / 2) * ∫(0 до 2π) (4cos^2(θ) + sin^2(θ)) dθ.

Теперь вычислим интеграл:

Интеграл от cos^2(θ) и sin^2(θ) можно вычислить с использованием формулы:

• ∫(0 до 2π) cos^2(θ) dθ = π,
• ∫(0 до 2π) sin^2(θ) dθ = π.

Таким образом:

• ∫(0 до 2π) (4cos^2(θ) + sin^2(θ)) dθ = 4π + π = 5π.

Теперь подставим это значение в формулу для площади:

• S = (a^2 / 2) * 5π = (5πa^2) / 2.

Итак, площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями, равна: