2024-12-23 23:08:17
СРОЧНО нужно решить предел lim x → ∞ (√(x² + 2x + 7) - √(x² - 7x + 4)).
Математика Колледж Пределы предел математика лимит решение бесконечность корень выражение x квадратный корень алгебра
2024-12-23 23:08:35
Чтобы решить предел lim x → ∞ (√(x² + 2x + 7) - √(x² - 7x + 4)), мы начнем с упрощения выражения. В таких случаях часто полезно умножить и разделить на сопряженное выражение. Сопряженное выражение к нашему выражению будет выглядеть так:
√(x² + 2x + 7) + √(x² - 7x + 4).
Теперь мы можем записать предел следующим образом:
lim x → ∞ (√(x² + 2x + 7) - √(x² - 7x + 4)) * (√(x² + 2x + 7) + √(x² - 7x + 4)) / (√(x² + 2x + 7) + √(x² - 7x + 4)).
Это позволит нам избавиться от корней в числителе. Таким образом, мы получаем:
lim x → ∞ [(x² + 2x + 7) - (x² - 7x + 4)] / (√(x² + 2x + 7) + √(x² - 7x + 4)).
Теперь упростим числитель:
- (x² + 2x + 7) - (x² - 7x + 4) = x² + 2x + 7 - x² + 7x - 4 = 9x + 3.
Теперь подставим это обратно в предел:
lim x → ∞ (9x + 3) / (√(x² + 2x + 7) + √(x² - 7x + 4)).
Теперь давайте упростим знаменатель. Мы можем вынести x² из под корня:
- √(x² + 2x + 7) = √(x²(1 + 2/x + 7/x²)) = x√(1 + 2/x + 7/x²).
- √(x² - 7x + 4) = √(x²(1 - 7/x + 4/x²)) = x√(1 - 7/x + 4/x²).
Теперь подставим это обратно в предел:
lim x → ∞ (9x + 3) / (x(√(1 + 2/x + 7/x²) + √(1 - 7/x + 4/x²))).
Теперь мы можем сократить x в числителе и знаменателе:
lim x → ∞ (9 + 3/x) / (√(1 + 2/x + 7/x²) + √(1 - 7/x + 4/x²)).
Теперь, когда x стремится к бесконечности, 3/x стремится к 0, 2/x стремится к 0, 7/x² стремится к 0, -7/x стремится к 0 и 4/x² стремится к 0. Таким образом, предел принимает вид:
(9 + 0) / (√(1 + 0 + 0) + √(1 + 0 + 0)) = 9 / (1 + 1) = 9 / 2.
Таким образом, предел равен:
9 / 2.