Существует ли граф с пятью вершинами, степени которых равны 4, 4, 4, 4 и 2? Рассмотрите вариант, когда все вершины соединены не более чем одним ребром, и когда этот мультиграф — между двумя вершинами может быть несколько рёбер.

Математика Колледж Теория графов граф с пятью вершинами степени вершин 4 4 4 4 2 мультиграф соединение вершин теория графов Новый

Для того чтобы определить, существует ли граф с пятью вершинами, степени которых равны 4, 4, 4, 4 и 2, нужно воспользоваться некоторыми свойствами теории графов.

Шаг 1: Определение суммы степеней вершин.

Сначала найдем сумму степеней всех вершин. Степени вершин равны 4, 4, 4, 4 и 2. Сложим их:

• 4 + 4 + 4 + 4 + 2 = 18.

Шаг 2: Применение теоремы о сумме степеней.

Согласно теореме о сумме степеней в графе, сумма степеней всех вершин равна удвоенному количеству рёбер. То есть:

• Сумма степеней = 2 * количество рёбер.

Таким образом, если сумма степеней равна 18, то количество рёбер в графе будет равно:

• Количество рёбер = 18 / 2 = 9.

Шаг 3: Проверка возможности существования графа с заданными степенями.

Теперь проверим, возможно ли распределить 9 рёбер между 5 вершинами так, чтобы степени вершин соответствовали 4, 4, 4, 4 и 2. Если у нас есть 4 вершины со степенью 4, то каждая из этих вершин должна соединяться с 4 другими вершинами. Однако, у нас всего 5 вершин, и одна из них имеет степень 2.

Это означает, что вершина с меньшей степенью (2) может соединиться только с двумя вершинами из четырех, которые имеют степень 4. Но тогда у этих четырех вершин останется по 3 соединения, которые нужно будет распределить между собой. Это невозможно, так как у нас всего 4 вершины, и каждая из них уже использовала 2 соединения с вершиной степени 2.

Шаг 4: Вывод.

Таким образом, невозможно создать граф с пятью вершинами, степени которых равны 4, 4, 4, 4 и 2, так как не удастся удовлетворить условиям распределения рёбер между вершинами. Ответ: граф не существует.