2025-09-16 02:32:29
Вычислить с помощью разложения на элементарные дроби:
∫(2x² - 3x - 36) / ((2x - 1)(x² + 9)) dx
Математика Колледж Интегралы и разложение на элементарные дроби разложение на элементарные дроби интеграл математика вычисление интеграла дроби 12 класс алгебра интегралы методы интегрирования Новый
2025-09-16 02:32:48
Чтобы вычислить интеграл ∫(2x² - 3x - 36) / ((2x - 1)(x² + 9)) dx, начнем с разложения подынтегральной функции на элементарные дроби.
Сначала представим дробь в виде суммы элементарных дробей. Мы можем записать:
(2x² - 3x - 36) / ((2x - 1)(x² + 9)) = A / (2x - 1) + (Bx + C) / (x² + 9)Где A, B и C - это некоторые постоянные, которые нам нужно определить. Теперь умножим обе части равенства на знаменатель (2x - 1)(x² + 9), чтобы избавиться от дробей:
2x² - 3x - 36 = A(x² + 9) + (Bx + C)(2x - 1)Теперь раскроем скобки:
A(x² + 9) = Ax² + 9A (Bx + C)(2x - 1) = 2Bx² - Bx + 2Cx - CТеперь объединим все это:
2x² - 3x - 36 = Ax² + 9A + 2Bx² - Bx + 2Cx - CСоберем все подобные члены:
(A + 2B)x² + (-B + 2C)x + (9A - C) = 2x² - 3x - 36Теперь мы можем приравнять коэффициенты:
- Для x²: A + 2B = 2
- Для x: -B + 2C = -3
- Для свободного члена: 9A - C = -36
Теперь решим эту систему уравнений.
Из первого уравнения выразим A:
A = 2 - 2BПодставим A во второе и третье уравнения:
-B + 2C = -3 (1) 9(2 - 2B) - C = -36 (2)Упростим второе уравнение:
18 - 18B - C = -36 C = 18 - 18B + 36 C = 54 - 18BТеперь подставим это значение C в первое уравнение:
-B + 2(54 - 18B) = -3 -B + 108 - 36B = -3 -37B + 108 = -3 -37B = -111 B = 3Теперь, зная B, найдем A и C:
A = 2 - 2(3) = 2 - 6 = -4 C = 54 - 18(3) = 54 - 54 = 0Теперь мы имеем:
A = -4, B = 3, C = 0Таким образом, разложение на элементарные дроби выглядит так:
(2x² - 3x - 36) / ((2x - 1)(x² + 9)) = -4 / (2x - 1) + (3x) / (x² + 9)Теперь мы можем интегрировать каждую из дробей по отдельности:
∫(-4 / (2x - 1)) dx + ∫(3x / (x² + 9)) dxПервый интеграл:
∫(-4 / (2x - 1)) dx = -4 * (1/2) ln|2x - 1| + C₁ = -2 ln|2x - 1| + C₁Второй интеграл можно решить, используя подстановку:
Пусть u = x² + 9, тогда du = 2x dx, и dx = du / (2x). Таким образом:
∫(3x / (x² + 9)) dx = (3/2) ∫(1/u) du = (3/2) ln|u| + C₂ = (3/2) ln|x² + 9| + C₂Теперь подведем итог и объединим все части:
∫(2x² - 3x - 36) / ((2x - 1)(x² + 9)) dx = -2 ln|2x - 1| + (3/2) ln|x² + 9| + CГде C = C₁ + C₂ - произвольная константа интегрирования.
Таким образом, окончательный ответ:
∫(2x² - 3x - 36) / ((2x - 1)(x² + 9)) dx = -2 ln|2x - 1| + (3/2) ln|x² + 9| + C