2025-11-10 22:53:27
Вычислите неопределенный и определенный интегралы методом непосредственного интегрирования: 3) ∫ dx/√(x²-1)
Математика Колледж Интегралы и их свойства неопределенный интеграл определенный интеграл метод непосредственного интегрирования интеграл dx/√(x²-1) математика 12 класс
2025-11-10 22:53:46
Чтобы вычислить интеграл ∫ dx/√(x²-1), мы будем использовать метод непосредственного интегрирования. Этот интеграл относится к классу интегралов, которые можно решить с помощью тригонометрической подстановки.
Шаг 1: Подстановка
Для интеграла вида √(x² - a²) мы можем использовать тригонометрическую подстановку. В данном случае, мы используем подстановку:
- x = sec(θ), тогда dx = sec(θ)tan(θ)dθ.
Теперь подставим x в наш интеграл:
- √(x² - 1) = √(sec²(θ) - 1) = √(tan²(θ)) = tan(θ).
Теперь можем переписать интеграл:
∫ dx/√(x²-1) = ∫ (sec(θ)tan(θ) dθ) / tan(θ) = ∫ sec(θ) dθ.
Шаг 2: Интегрирование sec(θ)
Интеграл от sec(θ) имеет известную формулу:
∫ sec(θ) dθ = ln |sec(θ) + tan(θ)| + C.
Теперь подставим обратно нашу подстановку x = sec(θ):
- sec(θ) = x,
- tan(θ) = √(x² - 1).
Таким образом, наш интеграл становится:
∫ dx/√(x²-1) = ln |x + √(x² - 1)| + C.
Шаг 3: Определенный интеграл
Теперь, если нам нужно вычислить определенный интеграл, например, от a до b, мы можем использовать найденный результат:
∫[a, b] dx/√(x²-1) = [ln |x + √(x² - 1)|] от a до b.
Подставляем пределы:
ln |b + √(b² - 1)| - ln |a + √(a² - 1)|.
Таким образом, мы получили как неопределенный, так и определенный интеграл:
- Неопределенный интеграл: ln |x + √(x² - 1)| + C.
- Определенный интеграл: ln |b + √(b² - 1)| - ln |a + √(a² - 1)|.