Чтобы доказать, что если функция f: R → R дважды дифференцируема в окрестности точки x0 и f''(x0) > 0, то x0 является точкой строгого локального минимума для f, мы можем воспользоваться критерием второго производного.

Шаги доказательства:

1. Поскольку f дважды дифференцируема в окрестности точки x0, мы можем использовать первый и второй производные функции.
2. Сначала найдем первую производную f'(x0). Поскольку x0 является критической точкой, мы имеем f'(x0) = 0.
3. Теперь рассмотрим вторую производную f''(x). Поскольку f''(x0) > 0, это означает, что в окрестности точки x0 функция f имеет "выпуклую" форму.
4. По критерию второго производного, если f'(x0) = 0 и f''(x0) > 0, то x0 является точкой строгого локального минимума.

Таким образом, мы доказали, что если f''(x0) > 0, то x0 является точкой строгого локального минимума.

Теперь объясним, почему условие f''(x0) > 0 нельзя ослабить до f''(x0) ≥ 0:

Рассмотрим контрпример:

• Возьмем функцию f(x) = x^4.
• Вычислим первую производную: f'(x) = 4x^3. Мы видим, что f'(0) = 0, то есть x0 = 0 является критической точкой.
• Теперь вычислим вторую производную: f''(x) = 12x^2. В точке x0 = 0 имеем f''(0) = 0.
• Однако, если мы посмотрим на поведение функции f(x) = x^4, то увидим, что в точке x0 = 0 функция не имеет минимума, так как f(x) = 0 для всех x в окрестности точки 0 (например, для x = 1 и x = -1, f(1) = f(-1) = 1).

Таким образом, в случае, когда f''(x0) = 0, мы не можем утверждать, что x0 является точкой строгого локального минимума. Это и показывает, что условие f''(x0) > 0 является необходимым для строгого локального минимума.