Докажите, что если функция f: R → R дважды дифференцируема в окрестности точки x0 и f''(x0) > 0, то x0 является точкой строгого локального минимума для f. Дополнительно объясните, почему условие f''(x0) > 0 нельзя ослабить до f''(x0) ≥ 0, приведя контрпример.

Математика Университет Исследование функций на экстремумы функция дифференцируемость локальный минимум вторая производная контрпример математический анализ условия минимума строгий минимум свойства производной окрестность точки Новый

Чтобы доказать, что если функция f: R → R дважды дифференцируема в окрестности точки x0 и f''(x0) > 0, то x0 является точкой строгого локального минимума для f, мы можем воспользоваться критерием второго производного.

Шаги доказательства:

1. Поскольку f дважды дифференцируема в окрестности точки x0, мы можем использовать первый и второй производные функции.
2. Сначала найдем первую производную f'(x0). Поскольку x0 является критической точкой, мы имеем f'(x0) = 0.
3. Теперь рассмотрим вторую производную f''(x). Поскольку f''(x0) > 0, это означает, что в окрестности точки x0 функция f имеет "выпуклую" форму.
4. По критерию второго производного, если f'(x0) = 0 и f''(x0) > 0, то x0 является точкой строгого локального минимума.

Таким образом, мы доказали, что если f''(x0) > 0, то x0 является точкой строгого локального минимума.

Теперь объясним, почему условие f''(x0) > 0 нельзя ослабить до f''(x0) ≥ 0:

Рассмотрим контрпример:

• Возьмем функцию f(x) = x^4.
• Вычислим первую производную: f'(x) = 4x^3. Мы видим, что f'(0) = 0, то есть x0 = 0 является критической точкой.
• Теперь вычислим вторую производную: f''(x) = 12x^2. В точке x0 = 0 имеем f''(0) = 0.
• Однако, если мы посмотрим на поведение функции f(x) = x^4, то увидим, что в точке x0 = 0 функция не имеет минимума, так как f(x) = 0 для всех x в окрестности точки 0 (например, для x = 1 и x = -1, f(1) = f(-1) = 1).

Таким образом, в случае, когда f''(x0) = 0, мы не можем утверждать, что x0 является точкой строгого локального минимума. Это и показывает, что условие f''(x0) > 0 является необходимым для строгого локального минимума.