Как можно доказать, что функция f:Z->Z, определенная как f(x)=x-9, является непрерывной, но не является гомеоморфизмом, если мы рассматриваем множество Z целых чисел с топологией, в которой все подмножества Z и N t={x€N} объединяются с Z?

Математика Университет Топология и непрерывные отображения непрерывность функции гомеоморфизм топология целых чисел доказательство непрерывности свойства функций множество Z множество N подмножества Z математический анализ функции и топология Новый

Для того чтобы доказать, что функция f: Z -> Z, заданная как f(x) = x - 9, является непрерывной, но не является гомеоморфизмом в заданной топологии, необходимо рассмотреть определения этих понятий и применить их к данной функции.

1. Непрерывность функции

Функция f является непрерывной, если для любого открытого множества U в целых числах Z, прообраз f^{-1}(U) также является открытым множеством в Z.

В данном случае, мы рассматриваем топологию на Z, в которой открытыми являются:

• все подмножества Z;
• множество N = {x ∈ Z | x ≥ 0}.

Рассмотрим произвольное открытое множество U. Если U является подмножеством N, то f^{-1}(U) = {x ∈ Z | x - 9 ∈ U}. Это множество будет либо пустым, либо содержать элементы, которые, в зависимости от U, могут быть как отрицательными, так и положительными. В любом случае, прообраз будет открытым в данной топологии.

Если U является произвольным подмножеством Z, то f^{-1}(U) также будет открытым, так как все подмножества Z являются открытыми. Таким образом, мы можем заключить, что:

Вывод:

Функция f является непрерывной.

2. Гомеоморфизм

Гомеоморфизм — это bijective (взаимно однозначное) отображение, которое сохраняет топологическую структуру, то есть и функция, и её обратная функция должны быть непрерывными.

Рассмотрим функцию f: Z -> Z, заданную как f(x) = x - 9. Эта функция является взаимно однозначной, так как для любого y ∈ Z существует единственное x ∈ Z, такое что f(x) = y. Однако, обратная функция f^{-1}(y) = y + 9 также должна быть непрерывной.

Теперь рассмотрим прообраз открытого множества N = {x ∈ Z | x ≥ 0} под действием обратной функции:

f^{-1}(N) = {y ∈ Z | y + 9 ≥ 0} = {y ∈ Z | y ≥ -9}.

Это множество не является открытым в рассматриваемой топологии, так как оно включает в себя все целые числа, начиная с -9, и не является открытым подмножеством Z.

Вывод:

Следовательно, обратная функция f^{-1} не является непрерывной, что означает, что f не является гомеоморфизмом.

Таким образом, мы доказали, что функция f(x) = x - 9 является непрерывной, но не является гомеоморфизмом в заданной топологии.