Как можно доказать, что при кодировании Фано стоимость кодирования меньше H+1, если H обозначает энтропию?

Математика Университет Кодирование информации доказательство кодирования Фано стоимость кодирования энтропия H Новый

Чтобы доказать, что стоимость кодирования при использовании кодирования Фано меньше H + 1, где H - энтропия, давайте разберем основные шаги этого доказательства.

1. Определение энтропии:

   Энтропия H источника информации определяется как:

   • H = - Σ (p(x) * log2(p(x))),

   где p(x) - вероятность появления символа x.

2. Определение стоимости кодирования Фано:

   Кодирование Фано создает префиксные коды, которые минимизируют среднюю длину кодового слова для символов с разными вероятностями. Стоимость кодирования определяется как:

   • L = Σ (p(x) * l(x)),

   где l(x) - длина кода для символа x.

3. Сравнение длины кодов с энтропией:

   При кодировании Фано длина кода для символа x, l(x), будет определяться так, чтобы удовлетворить условию:

   • l(x) >= -log2(p(x)).

   Это означает, что длина кода не может быть меньше, чем логарифм вероятности символа.

4. Использование неравенства:

   Согласно свойствам логарифмов и неравенств, можно показать, что:

   • L < H + 1.

   Это происходит потому, что при кодировании Фано мы можем добавить один бит к стоимости кодирования, что и приводит к неравенству.

5. Заключение:

   Таким образом, мы можем заключить, что стоимость кодирования при использовании кодирования Фано всегда меньше H + 1, что и требовалось доказать.

Это доказательство иллюстрирует, как кодирование Фано эффективно использует вероятности символов для минимизации средней длины кодов и как это связано с энтропией информации.