Как можно найти градиент и производную функции z = xe^y в точке M0(1,4) вдоль линии xy = 4, если движение осуществляется в направлении уменьшения аргумента x?

Математика Университет Градиенты и производные функций нескольких переменных градиент функции производная функции точка M0(1,4) линия xy=4 направление уменьшения x Новый

Чтобы найти градиент и производную функции z = xe^y в точке M0(1,4) вдоль линии xy = 4, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдем градиент функции z.

Градиент функции z = f(x, y) = xe^y можно найти, вычислив частные производные по x и y.

• Частная производная по x:

f_x = ∂(xe^y)/∂x = e^y.

• Частная производная по y:

f_y = ∂(xe^y)/∂y = xe^y.

Таким образом, градиент функции z будет равен:

∇f(x, y) = (f_x, f_y) = (e^y, xe^y).

Шаг 2: Подставим координаты точки M0(1, 4).

Теперь подставим x = 1 и y = 4 в градиент:

• f_x(1, 4) = e^4,
• f_y(1, 4) = 1 * e^4 = e^4.

Таким образом, градиент в точке M0(1, 4) будет:

∇f(1, 4) = (e^4, e^4).

Шаг 3: Найдем направление движения.

Движение осуществляется вдоль линии xy = 4. Параметризуем эту линию. Если x изменяется, то y можно выразить как:

y = 4/x.

Теперь найдем производную y по x:

dy/dx = -4/x^2.

Шаг 4: Найдем вектор направления.

Вектор направления движения вдоль линии xy = 4 будет равен:

(1, dy/dx) = (1, -4/x^2).

В точке M0(1, 4) это будет:

(1, -4/1^2) = (1, -4).

Шаг 5: Найдем производную функции вдоль направления.

Теперь, чтобы найти производную функции z вдоль направления, используем скалярное произведение градиента и вектора направления:

∂z/∂s = ∇f(1, 4) • (1, -4) = (e^4, e^4) • (1, -4).

Вычислим скалярное произведение:

• ∂z/∂s = e^4 * 1 + e^4 * (-4) = e^4 - 4e^4 = -3e^4.

Ответ: Производная функции z = xe^y в точке M0(1, 4) вдоль линии xy = 4, когда движение осуществляется в направлении уменьшения x, равна -3e^4.