Как можно строго по определению доказать фундаментальность последовательности n/(2n+1>?

Математика Университет Фундаментальные последовательности доказательство фундаментальности последовательность n/(2n+1) строгие математические определения математический анализ пределы последовательностей Новый

Чтобы доказать, что последовательность a_n = n/(2n + 1) является фундаментальной, мы должны показать, что для любого ε > 0 существует натуральное число N такое, что для всех n, m > N выполняется неравенство |a_n - a_m| < ε.

Следуем шагам:

1. Найдем разность a_n и a_m:

Рассмотрим |a_n - a_m|:

|a_n - a_m| = |n/(2n + 1) - m/(2m + 1>|

2. Приведем к общему знаменателю:

Общий знаменатель будет (2n + 1)(2m + 1):

|a_n - a_m| = |(n(2m + 1) - m(2n + 1)) / ((2n + 1)(2m + 1))|

3. Упростим числитель:

Числитель можно упростить:

n(2m + 1) - m(2n + 1) = 2mn + n - 2mn - m = n - m.

Таким образом, получаем:

|a_n - a_m| = |n - m| / ((2n + 1)(2m + 1)).

4. Оценим знаменатель:

Для больших n и m, (2n + 1)(2m + 1) будет примерно 4nm, и мы можем сказать, что:

(2n + 1)(2m + 1) >= 4N^2 при n, m > N.

5. Вводим ограничение:

Теперь мы можем оценить |a_n - a_m|:

|a_n - a_m| <= |n - m| / (4N^2).

Если мы выберем N таким образом, чтобы |n - m| < 4N^2 * ε, тогда:

|a_n - a_m| < ε.

6. Заключение:

Таким образом, мы можем выбрать N так, чтобы для всех n, m > N выполнялось неравенство |a_n - a_m| < ε. Это доказывает, что последовательность a_n = n/(2n + 1) является фундаментальной.