2025-01-03 15:43:49
Как можно вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫∠ dl÷(√(8-x²-y²)), если ∠ - это отрезок прямой, соединяющий точки O(0, 0) и B(2, 2)?
Математика Университет Криволинейные интегралы криволинейный интеграл интеграл 1-го рода вычисление интеграла математика отрезок прямой точки O и B интегралы в математике примеры криволинейных интегралов
2025-01-03 15:44:01
Чтобы вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫ dl/(√(8-x²-y²)), где отрезок ∠ соединяет точки O(0, 0) и B(2, 2), мы будем следовать определённым шагам.
Шаг 1: Параметризация отрезкаСначала нам нужно параметризовать отрезок, соединяющий точки O(0, 0) и B(2, 2). Мы можем использовать параметр t для этого. Обозначим:
- x(t) = 2t
- y(t) = 2t
где t изменяется от 0 до 1. При t=0 мы получаем точку O(0, 0), а при t=1 — точку B(2, 2).
Шаг 2: Вычисление дифференциала dlТеперь нам нужно найти дифференциал dl. Он равен:
- dl = √((dx)² + (dy)²)
Найдём dx и dy:
- dx = d(2t) = 2 dt
- dy = d(2t) = 2 dt
Теперь подставим в выражение для dl:
- dl = √((2 dt)² + (2 dt)²) = √(4 dt² + 4 dt²) = √(8 dt²) = 2√2 dt
Теперь подставим x(t), y(t) и dl в наш интеграл:
- ∫ dl/(√(8-x²-y²)) = ∫ (2√2 dt)/(√(8 - (2t)² - (2t)²))
Упростим выражение под корнем:
- 8 - (2t)² - (2t)² = 8 - 4t² - 4t² = 8 - 8t² = 8(1 - t²)
Теперь подставим это в интеграл:
- ∫ (2√2 dt)/(√(8(1 - t²))) = ∫ (2√2 dt)/(√8 * √(1 - t²)) = (2√2/√8) ∫ dt/√(1 - t²)
Заметим, что √8 = 2√2, поэтому:
- 2√2/√8 = 2√2/(2√2) = 1
Таким образом, интеграл упрощается до:
- ∫ dt/√(1 - t²)
Интеграл ∫ dt/√(1 - t²) равен arcsin(t). Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 1:
- arcsin(1) - arcsin(0) = π/2 - 0 = π/2
Таким образом, значение криволинейного интеграла 1-го рода ∫ dl/(√(8-x²-y²)) по отрезку ∠ равно π/2.
