Как можно вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫∠ dl÷(√(8-x²-y²)), если ∠ - это отрезок прямой, соединяющий точки O(0, 0) и B(2, 2)?

Математика Университет Криволинейные интегралы криволинейный интеграл интеграл 1-го рода вычисление интеграла математика отрезок прямой точки O и B интегралы в математике примеры криволинейных интегралов Новый

Чтобы вычислить криволинейный интеграл 1-го рода ∫ dl/(√(8-x²-y²)), где отрезок ∠ соединяет точки O(0, 0) и B(2, 2), мы будем следовать определённым шагам.

Шаг 1: Параметризация отрезка

Сначала нам нужно параметризовать отрезок, соединяющий точки O(0, 0) и B(2, 2). Мы можем использовать параметр t для этого. Обозначим:

• x(t) = 2t
• y(t) = 2t

где t изменяется от 0 до 1. При t=0 мы получаем точку O(0, 0), а при t=1 — точку B(2, 2).

Шаг 2: Вычисление дифференциала dl

Теперь нам нужно найти дифференциал dl. Он равен:

• dl = √((dx)² + (dy)²)

Найдём dx и dy:

• dx = d(2t) = 2 dt
• dy = d(2t) = 2 dt

Теперь подставим в выражение для dl:

• dl = √((2 dt)² + (2 dt)²) = √(4 dt² + 4 dt²) = √(8 dt²) = 2√2 dt

Шаг 3: Подстановка в интеграл

Теперь подставим x(t), y(t) и dl в наш интеграл:

• ∫ dl/(√(8-x²-y²)) = ∫ (2√2 dt)/(√(8 - (2t)² - (2t)²))

Упростим выражение под корнем:

• 8 - (2t)² - (2t)² = 8 - 4t² - 4t² = 8 - 8t² = 8(1 - t²)

Теперь подставим это в интеграл:

• ∫ (2√2 dt)/(√(8(1 - t²))) = ∫ (2√2 dt)/(√8 * √(1 - t²)) = (2√2/√8) ∫ dt/√(1 - t²)

Заметим, что √8 = 2√2, поэтому:

• 2√2/√8 = 2√2/(2√2) = 1

Таким образом, интеграл упрощается до:

• ∫ dt/√(1 - t²)

Шаг 4: Вычисление интеграла

Интеграл ∫ dt/√(1 - t²) равен arcsin(t). Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 1:

• arcsin(1) - arcsin(0) = π/2 - 0 = π/2

Шаг 5: Ответ

Таким образом, значение криволинейного интеграла 1-го рода ∫ dl/(√(8-x²-y²)) по отрезку ∠ равно π/2.