Как найти базис ортогонального дополнения L^⊥ подпространства L в R⁴, заданного системой линейных однородных алгебраических уравнений (СЛОАУ)? Какова система линейных однородных алгебраических уравнений, определяющая ортогональное дополнение подпространства L, заданного следующими уравнениями:

1. -ξ₁ + 2ξ₂ + ξ₄ = 0
2. 3ξ₁ + 5ξ₃ - ξ₄ = 0
3. 5ξ₁ + 2ξ₂ + 10ξ₃ - ξ₄ = 0

Математика Университет Ортогональные дополнения подпространств в линейной алгебре базис ортогонального дополнения подпространство L Система линейных уравнений ортогональное дополнение линейные однородные уравнения R в 4 нахождение базиса алгебраические уравнения математика векторные пространства Новый

Чтобы найти базис ортогонального дополнения L⊥ подпространства L в R4, заданного системой линейных однородных алгебраических уравнений (СЛОАУ), нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определение подпространства L

Сначала мы запишем систему уравнений, которая задает подпространство L:

• -ξ1 + 2ξ2 + ξ4 = 0
• 3ξ1 + 5ξ3 - ξ4 = 0
• 5ξ1 + 2ξ2 + 10ξ3 - ξ4 = 0

Эти уравнения определяют подпространство L в R4.

Шаг 2: Составление матрицы системы

Теперь мы можем представить эту систему уравнений в виде матрицы:

Матрица коэффициентов будет выглядеть так:

• [-1, 2, 0, 1]
• [3, 0, 5, -1]
• [5, 2, 10, -1]

Шаг 3: Поиск нормалей к подпространству

Каждое уравнение в системе определяет гиперплоскость в R4, и векторы, соответствующие коэффициентам этих уравнений, будут нормальными векторами к этой гиперплоскости. То есть, нормальными векторами к подпространству L являются:

• n1 = [-1, 2, 0, 1]
• n2 = [3, 0, 5, -1]
• n3 = [5, 2, 10, -1]

Шаг 4: Определение системы для L⊥

Чтобы найти ортогональное дополнение L⊥, нам нужно составить новую систему уравнений, в которой векторы из L⊥ будут перпендикулярны всем векторам из L. Это означает, что мы можем взять векторы нормалей и записать их как строки новой системы:

Система уравнений для L⊥ будет выглядеть так:

• ξ1 - 2ξ2 - ξ4 = 0
• -3ξ1 - 5ξ3 + ξ4 = 0
• -5ξ1 - 2ξ2 - 10ξ3 + ξ4 = 0

Шаг 5: Решение системы для нахождения базиса L⊥

Теперь мы можем решить полученную систему, чтобы найти базис ортогонального дополнения L⊥. Это можно сделать, например, методом Гаусса или любым другим способом, который вам удобен. В результате мы получим векторы, которые будут составлять базис L⊥.

Таким образом, мы нашли систему линейных однородных алгебраических уравнений, определяющую ортогональное дополнение подпространства L:

• ξ1 - 2ξ2 - ξ4 = 0
• -3ξ1 - 5ξ3 + ξ4 = 0
• -5ξ1 - 2ξ2 - 10ξ3 + ξ4 = 0