Как найти частные производные второго порядка функции z=arctg((y+2x)/x)?

Математика Университет Частные производные и дифференциальное исчисление функций нескольких переменных частные производные производные второго порядка функция z arctg математика вычисление производных Новый

Давайте найдем частные производные второго порядка функции z = arctg((y + 2x)/x). Для начала, нам нужно определить частные производные первого порядка, а затем уже перейдем к частным производным второго порядка.

Шаг 1: Найдем частные производные первого порядка.

• Частная производная z по x:

Для нахождения частной производной z по x, будем использовать правило производной сложной функции. Мы сначала найдем производную арктангенса, а затем применим правило дифференцирования дроби.

Формула производной arctg(u) будет равна 1/(1 + u^2) * (du/dx), где u = (y + 2x)/x.

Теперь найдем производную u по x:

u = (y + 2x)/x = y/x + 2.

du/dx = -y/x^2 + 2/x = (2 - y/x)/x.

Теперь подставим это в формулу для производной z:

dz/dx = 1/(1 + ((y + 2x)/x)^2) * (du/dx).

• Частная производная z по y:

Для частной производной z по y мы также будем использовать правило производной сложной функции.

В этом случае, du/dy = 1/x, так как производная y по y равна 1, а производная 2x по y равна 0.

Таким образом, получаем:

dz/dy = 1/(1 + ((y + 2x)/x)^2) * (1/x).

Шаг 2: Найдем частные производные второго порядка.

• Вторичная частная производная z по x:

Для нахождения второй производной dz/dx мы снова применяем правило производной. Мы должны продифференцировать первую производную dz/dx по x, что потребует применения правила Лейбница и дифференцирования дроби.

• Вторичная частная производная z по y:

Аналогично, мы находим вторую производную dz/dy, продифференцировав первую производную dz/dy по y.

• Смешанная производная z по x и y:

Смешанная производная будет находиться путем дифференцирования dz/dx по y или dz/dy по x. Это также потребует применения аналогичных правил дифференцирования.

Итог:

Таким образом, мы можем найти частные производные второго порядка функции z = arctg((y + 2x)/x), используя правила производной и применяя их последовательно. Важно помнить, что для сложных функций требуется аккуратно применять правила дифференцирования, чтобы получить правильные результаты.