Как найти область сходимости функционального ряда ∑ 2^{n} * x^{3n} * arcsin(x/(3n))?

Математика Университет Область сходимости рядов область сходимости функциональный ряд ∑ 2^{n} * x^{3n} arcsin(x/(3n)) математический анализ Новый

Чтобы найти область сходимости функционального ряда ∑ 2^{n} * x^{3n} * arcsin(x/(3n)), нам нужно использовать критерий сходимости рядов, например, критерий Даламбера (или критерий ratio test).

Рассмотрим общий член ряда:

a_n = 2^{n} * x^{3n} * arcsin(x/(3n))

Теперь применим критерий Даламбера, который требует рассмотреть предел:

L = lim (n → ∞) |a_{n+1} / a_n|

Сначала найдем a_{n+1}:

• a_{n+1} = 2^{n+1} * x^{3(n+1)} * arcsin(x/(3(n+1)))

Теперь найдем отношение |a_{n+1} / a_n|:

|a_{n+1} / a_n| = |(2^{n+1} * x^{3(n+1)} * arcsin(x/(3(n+1)))) / (2^{n} * x^{3n} * arcsin(x/(3n))|

Упростим это выражение:

• |a_{n+1} / a_n| = |2 * x^{3} * arcsin(x/(3(n+1))) / arcsin(x/(3n))|

Теперь возьмем предел:

L = lim (n → ∞) |2 * x^{3} * arcsin(x/(3(n+1))) / arcsin(x/(3n))|

При n стремящемся к бесконечности, аргумент arcsin стремится к нулю, и мы можем использовать приближение arcsin(y) ≈ y для малых y:

• arcsin(x/(3n)) ≈ x/(3n)
• arcsin(x/(3(n+1))) ≈ x/(3(n+1))

Таким образом, предел будет выглядеть следующим образом:

L = lim (n → ∞) |2 * x^{3} * (x/(3(n+1))) / (x/(3n))| = lim (n → ∞) |2 * x^{3} * (n / (n+1))|

При n стремящемся к бесконечности, (n / (n+1)) стремится к 1, поэтому:

L = |2 * x^{3}|

По критерию Даламбера ряд сходится, если L < 1:

|2 * x^{3}| < 1

Это неравенство можно переписать как:

|x^{3}| < 1/2

Таким образом, мы приходим к следующему результату:

-1/2 < x < 1/2

Следовательно, область сходимости данного функционального ряда:

(-1/2, 1/2)