Как найти производную от функции cos^2x?

Математика Университет Производная функции производная cos^2x нахождение производной математика тригонометрические функции правила дифференцирования Новый

Чтобы найти производную функции cos^2(x), мы будем использовать правило цепочки, так как функция состоит из двух частей: внешней функции (квадрат) и внутренней функции (cos(x)). Давайте разберем этот процесс по шагам.

1. Определим функцию: Пусть y = cos^2(x).
2. Применим правило цепочки: Для нахождения производной функции y = f(g(x)), где f(u) = u^2 и g(x) = cos(x), мы используем правило цепочки, которое гласит:
• dy/dx = f'(g(x)) * g'(x).
3. Найдем производную внешней функции: Для функции f(u) = u^2 производная будет:
• f'(u) = 2u.
4. Найдем производную внутренней функции: Для функции g(x) = cos(x) производная будет:
• g'(x) = -sin(x).
5. Теперь подставим значения: Мы знаем, что u = g(x) = cos(x), следовательно:
• f'(g(x)) = 2 * cos(x).
6. Теперь подставим всё в формулу:
• dy/dx = f'(g(x)) * g'(x) = 2 * cos(x) * (-sin(x)).
7. Упростим выражение: Получаем:
• dy/dx = -2 * cos(x) * sin(x).

Таким образом, производная функции cos^2(x) равна -2 * cos(x) * sin(x). Это можно также записать как -sin(2x) с использованием формулы двойного угла для синуса, но в данном случае мы оставим её в первоначальном виде.