Как найти уравнение касательной плоскости к заданной параметрической поверхности с параметрами x = u^2 + 1, y = v^3 + 1, z = u + v в точке (5, 2, 3)?

Математика Университет Касательные плоскости к параметрическим поверхностям уравнение касательной плоскости параметрическая поверхность точки касания математический анализ производные частные производные геометрия векторные функции система координат точки в пространстве Новый

Для нахождения уравнения касательной плоскости к заданной параметрической поверхности в точке, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найдем параметры u и v в точке (5, 2, 3)

Мы знаем, что:

• x = u^2 + 1
• y = v^3 + 1
• z = u + v

Подставим координаты точки (5, 2, 3) в уравнения:

• 5 = u^2 + 1 ⇒ u^2 = 4 ⇒ u = 2 или u = -2
• 2 = v^3 + 1 ⇒ v^3 = 1 ⇒ v = 1
• 3 = u + v ⇒ u + 1 = 3 ⇒ u = 2

Таким образом, мы нашли параметры: u = 2 и v = 1.

Шаг 2: Найдем частные производные

Теперь нам нужно найти частные производные параметрической поверхности по u и v:

• dx/du = 2u
• dy/du = 0
• dz/du = 1
• dx/dv = 0
• dy/dv = 3v^2
• dz/dv = 1

Шаг 3: Подставим значения u и v в производные

Теперь подставим u = 2 и v = 1 в частные производные:

• dx/du = 2 * 2 = 4
• dy/du = 0
• dz/du = 1
• dx/dv = 0
• dy/dv = 3 * 1^2 = 3
• dz/dv = 1

Шаг 4: Найдем векторы касательной

Теперь мы можем составить векторы касательной:

• Тангенциальный вектор по u: (4, 0, 1)
• Тангенциальный вектор по v: (0, 3, 1)

Шаг 5: Найдем нормальный вектор к касательной плоскости

Нормальный вектор к касательной плоскости можно найти с помощью векторного произведения двух тангенциальных векторов:

Нормальный вектор N = (4, 0, 1) × (0, 3, 1).

Вычисляем:

• N_x = (0 * 1) - (1 * 3) = -3
• N_y = (1 * 0) - (4 * 1) = -4
• N_z = (4 * 3) - (0 * 0) = 12

Таким образом, нормальный вектор N = (-3, -4, 12).

Шаг 6: Запишем уравнение касательной плоскости

Уравнение касательной плоскости имеет вид:

-3(x - 5) - 4(y - 2) + 12(z - 3) = 0.

Раскроем скобки:

• -3x + 15 - 4y + 8 + 12z - 36 = 0

Упрощаем:

• -3x - 4y + 12z - 13 = 0.

Таким образом, уравнение касательной плоскости к заданной параметрической поверхности в точке (5, 2, 3) будет:

-3x - 4y + 12z - 13 = 0.