Как найти все особые точки функции ((z-i)/(z+1))*cos(1/z), определить их тип, а для полюса найти его порядок? Также, как вычислить вычеты во всех особых точках и в бесконечно удаленной точке? Пожалуйста, распишите подробно.

Математика Университет Комплексный анализ особые точки функции тип особых точек полюс функции порядок полюса вычисление вычетов вычеты в особых точках бесконечно удаленная точка математика комплексный анализ Новый

Чтобы найти все особые точки функции f(z) = ((z - i) / (z + 1)) * cos(1/z), сначала необходимо определить, где эта функция не определена или имеет особые точки.

Шаг 1: Нахождение особых точек

• Функция состоит из двух частей: дроби (z - i) / (z + 1) и косинуса cos(1/z).
• Дробь (z - i) / (z + 1) имеет особую точку в z = -1, так как там знаменатель равен нулю.
• Функция cos(1/z) имеет особую точку в z = 0, так как 1/z стремится к бесконечности, когда z стремится к 0.

Таким образом, особые точки функции f(z) - это z = -1 и z = 0.

Шаг 2: Определение типа особых точек

• В точке z = -1: здесь функция имеет полюс, так как знаменатель стремится к нулю, а числитель не стремится к нулю.
• В точке z = 0: здесь функция имеет особую точку, так как cos(1/z) не определен, и 1/z стремится к бесконечности.

Шаг 3: Определение порядка полюса в точке z = -1

• Чтобы определить порядок полюса в z = -1, рассмотрим поведение функции в окрестности этой точки.
• Функция f(z) = ((z - i) / (z + 1)) * cos(1/z) можно переписать как f(z) = ((z - i) * cos(1/z)) / (z + 1).
• В точке z = -1, числитель (z - i) остается конечным и не равным нулю, а знаменатель (z + 1) стремится к нулю.
• Следовательно, это полюс первого порядка.

Шаг 4: Вычисление вычетов

• Вычет в точке z = -1:
• Вычет функции в полюсе первого порядка можно найти по формуле: вычет = lim (z + 1) * f(z) при z -> -1.
• Вычислим: lim (z + 1) * f(z) = lim (z + 1) * ((z - i) * cos(1/z)) / (z + 1) = lim (z - i) * cos(1/z) при z -> -1.
• Подставляем z = -1: (-1 - i) * cos(-1) = (-1 - i) * cos(1).
• Таким образом, вычет в точке z = -1 равен (-1 - i) * cos(1).

• Вычет в точке z = 0:
• В точке z = 0 у нас особая точка, и чтобы найти вычет, воспользуемся разложением функции cos(1/z) в ряд Тейлора.
• cos(1/z) можно разложить как 1 - (1/(2! * z^2)) + (1/(4! * z^4)) - ...
• Таким образом, f(z) = ((z - i) / (z + 1)) * (1 - (1/(2! * z^2)) + ...).
• Вычет в точке z = 0 можно найти, рассматривая коэффициент при 1/z в разложении функции.
• Так как (z - i) / (z + 1) в z = 0 дает -i, то вычет в точке z = 0 равен -i * (-1/2) = i/2.

Шаг 5: Вычет в бесконечно удаленной точке

• Чтобы найти вычет в бесконечно удаленной точке, нужно рассмотреть функцию g(w) = f(1/w) при w -> 0.
• Тогда g(w) = ((1/w - i) / (1/w + 1)) * cos(w).
• Упрощаем: g(w) = ((1 - iw) / (1 + w)) * cos(w).
• Вычет в бесконечно удаленной точке равен -lim (w -> 0) w * g(w).
• Вычисляем: lim (w -> 0) w * ((1 - iw) / (1 + w)) * cos(w) = 0, так как w стремится к 0.

Таким образом, мы нашли все особые точки функции, определили их тип, вычислили вычеты в этих точках и в бесконечно удаленной точке.